Me cuesta entender los números imaginarios, ¿por qué se crearon?

Answer 1

Lo más básico que necesita saber sobre los números imaginarios, para que todo lo demás siga, es que hay un número, denotado [math] i [/ math] (o si es un ingeniero eléctrico [math] j [/ math ]) con la propiedad que [math] i ^ 2 = -1 [/ math] (o [math] j ^ 2 = -1 [/ math]). Eso es lo más fundamental para entender. Se define de esa manera!

En cuanto a por qué fueron creados, es más una historia, y no implica resolver el polinomio [matemático] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemático], porque en el pasado podían ver que eso conduciría a [matemáticas] x ^ 2 = -1 [/ matemáticas], y es fácilmente comprobable que no hay un número real [matemáticas] x [/ matemáticas] con esa propiedad. ¿Entonces, para qué molestarse? Vamos a hacer algo más útil, como resolver ecuaciones cúbicas, ya que sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas de la forma [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática], siempre que la discriminante [matemática] \ Delta = b ^ 2 – 4ac \ ge 0 [/ matemática].

Ahora, antes de continuar, quiero hacer una pequeña distracción sobre el hecho de que la elección de la palabra ” real ” para “número real ” tiene sentido, pero también es desafortunado, debido a las connotaciones de la palabra ” real “. Implica que cualquier cosa que no sea un “número real ” no es real y no existe. Excepto que, en el sentido de que las personas piensan que quieren decir, y que la confusión se trata, los “números reales ” tampoco existen. Los números reales existen en las matemáticas porque las matemáticas son un juego de axiomas y definiciones (aunque este lado todavía estaba a un par de siglos de ser formalizado y entendido correctamente). Cualquier cosa puede “existir” en el sentido matemático siempre que sea consistente o no conduzca a contradicciones.

Volver a resolver ecuaciones cúbicas.

Resulta que incluso cuando se intenta encontrar las raíces de polinomios cúbicos (lo mismo que resolver una ecuación cúbica equivalente), hay un paso en la solución general en el que tienes que sacar la raíz cuadrada de algo, y ese algo puede ser negativo incluso cuando se sabe que todas las raíces son reales (en el sentido de existir en la recta numérica). Ups?

Esto parece una mala noticia, debido a lo absurdo de las soluciones reales a las cuadráticas con discriminantes negativos, pero si solo finges que estos pasos están bien y no piensas demasiado en lo absurdo de lo que estás haciendo, la fórmula funciona y al final obtienes las respuestas correctas, siempre y cuando sigas las reglas normales de la aritmética.

Huh …

Entonces, ¿quizás permitir que la raíz cuadrada de un número negativo no sea tan malo después de todo?

¿Pero cómo llamar a tales objetos? ¿Son números pares? ¿Qué son?

Bueno, debido a ese método inicial de resolver cúbicos, donde pretendías que algo obviamente absurdo está bien, los números absurdos que aparecieron (raíces cuadradas de números negativos) fueron tratados como imaginarios. ¡Obviamente no es real , sólido, como los números reales de confianza!

Y la palabra imaginaria se atascó, para números que eran puramente la raíz cuadrada de un número real negativo. Eso también fue desafortunado, pero es un poco tarde para cambiarlo ahora. Es como si creyeras que [math] \ tau: = 2 \ pi [/ math] es el número más natural para usar para el ángulo de una revolución completa en un círculo en radianes. Puede ser moralmente correcto, pero [math] \ pi [/ math] tiene demasiado impulso e historia detrás (y todo porque es más sencillo medir el diámetro de un círculo que calcular su radio). Se necesitaría una revisión estructural completa o un corte muy largo en los bordes para efectuar el cambio que desea. Estamos atrapados con [math] \ pi [/ math], estamos atrapados con los llamados números reales y con números imaginarios que en realidad son tan reales como los números reales , en ese sentido matemático.

Entonces, la gente comenzó a ser aventurera, y se preguntaron qué pasaría si solo hicieras álgebra normal con estos números imaginarios . Resulta que juegan muy bien con los demás.

Puede agregar un número real y un número imaginario , y no forman un solo “blob”; es como agregar variables [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]. Solo tienes que escribir [matemáticas] x + y [/ matemáticas]. Entonces, un número real más un número imaginario le da un objeto con múltiples partes. Las cosas con múltiples partes se llaman complejos. ¿Has oído hablar de un complejo de apartamentos? Mismo significado de complejo!

Entonces, los números complejos son solo complejos de dos tipos diferentes (pero específicos) de números. E, irónicamente, ¡ los números complejos en realidad producen muchos resultados que son difíciles o complicados de probar en números reales mucho más simples!

Esto se debe a que estos números complejos son el “cierre algebraico” de los números reales . Si considera todas sus operaciones algebraicas normales, como [matemáticas] + [/ matemáticas], [matemáticas] – [/ matemáticas], [matemáticas] \ veces [/ matemáticas], [matemáticas] \ div [/ matemáticas] y tomar potencias (incluidas potencias fraccionarias, como raíces cuadradas) y logaritmos, mientras que algunas operaciones deben permanecer indefinidas (como la división por cero o el logaritmo de cero, por ejemplo), si comienza en los números complejos , nunca tendrá que abandonar los números complejos . Pero si comienzas con los números reales, algunas de las cosas que puedes hacer pueden sacarte de ellos y entrar en los números complejos .

Entonces ahí lo tienes. Los números complejos en realidad son en cierto modo más simples que los números reales , y todo se hace introduciendo en realidad solo un número imaginario [math] i [/ math] que tiene la propiedad directa de que [math] i ^ 2 = -1 [/ math] . Esto está bien, porque no insistimos en que [matemáticas] i [/ matemáticas] es un número real , pero es tan real como el resto de ellos.

Gran parte de su belleza es su estructura. Agregar números complejos es como agregar vectores, pero multiplicar números complejos juntos es equivalente a escalar y rotar vectores. Esto es a lo que aluden otras respuestas (por ejemplo, ver la respuesta de Riccardo Toscano a Tengo dificultades para comprender los números imaginarios, ¿por qué se crearon?) Cuando hablan de rotaciones. Si la multiplicación por [matemática] -1 [/ matemática] es como rotar por [matemática] 180 ^ \ circ = \ pi [/ matemática] radianes, entonces multiplicar por [matemática] i [/ matemática] es como rotar en sentido antihorario por [matemáticas] 90 ^ \ circ = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas] radianes.

Este agujero de conejo es profundo, y espero que te brinde más perspectiva para apreciarlos a medida que aprendes más.

Answer 2

Los seres humanos tienen el talento / instinto único para cuantificar las cosas y las relaciones entre las cosas, lo que resulta en varios “modelos matemáticos”. Varias ecuaciones como la ecuación lineal, la ecuación cuadrática, etc. son todos ejemplos. Por lo general, estos modelos involucran factores desconocidos que son de nuestro interés. Para encontrar la respuesta definitiva a estas partes desconocidas, necesitamos resolver los modelos. Para resolver estos modelos, necesitamos ciertas “técnicas”.

Para modelos simples, podemos derivar la solución fácilmente. Para modelos más sofisticados, es posible que tengamos que usar nuestra “imaginación” y valentía para ir más allá de las técnicas antiguas y extenderlas con otras nuevas. Cardano usó un número imaginario para resolver algunas ecuaciones cúbicas. Oliver Heaviside usó alguna forma temprana de transformación integral para resolver ecuaciones diferenciales que nadie más en su momento podría hacer. Todos estos son ejemplos de “evolución en técnicas matemáticas”. Y estas técnicas demuestran ser útiles porque las respuestas obtenidas con ellas son válidas en la práctica.

La historia resulta que la mayoría de las veces, en primer lugar, algunas almas audaces encontraron algunas técnicas innovadoras y las pusieron en práctica para resolver problemas reales, y luego los matemáticos trataron de aceptar y formalizar esas técnicas e incluirlas en la “construcción coherente de las matemáticas”. “. Y los matemáticos pueden inventar algunos métodos para ayudar a adoptar nuevas ideas, como el plano complejo como ilustración de un número complejo. Porque “la mayoría de la gente no lo creerá hasta que lo vean”.

Soy un programador. A veces trato el número imaginario y otras cosas como algo similar a los “algoritmos”. Es decir, son ciertas “operaciones simbólicas” que pueden ayudarlo a llegar a la respuesta. Y cada vez más siento que la forma de los números no importa. Lo que importa son las “reglas de operaciones” para los números. Para mí, solo hay 2 cosas en matemáticas que son fundamentales: una es los números naturales, la otra es “cómo definimos” la suma y la multiplicación. Estos se basan en el instinto humano o la voluntad de Dios. Todas las otras partes de las matemáticas son meramente criaturas de la mente humana.

Espero que mis murmullos anteriores puedan ayudarlo a comprender un poco cómo nacen los números imaginarios y otras técnicas matemáticas extrañas. Siempre creo que la mejor manera de entender a las criaturas matemáticas es conocer la motivación detrás de ellas.

Tal vez hay otras formas además de los números imaginarios para resolver preguntas prácticas. Y tal vez los encuentre más comprensibles. Pero antes de encontrarlos, adopte el enfoque actual.

Answer 3

Fueron descubiertos para trabajar con la raíz de los números negativos (tomemos -1 por simplicidad).

Verá, si reconoce que la raíz de -1 existe, entonces es consistente con todas las demás reglas; por ejemplo, si lo multiplica por sí mismo, obtiene -1.

¿Cuál es la raíz de –1? ¿Cómo puedes tener un número que multiplicado por sí mismo da -1?

Intenta pensarlo de esta manera. Piensa en la recta numérica. Cuando multiplica dos números, su valor absoluto se multiplica, pero ¿qué pasa con su signo? El número en la recta numérica hace una rotación de 180 ° por cada signo menos. Las ventajas dan una rotación de 0 °. Es por eso que negativo por negativo da un positivo: porque cuando multiplica dos números, agrega sus rotaciones. 180 ° + 180 ° = 360 °, así que volvemos a los números positivos.

En este punto, es obvio considerar también los números con una rotación de 90 °.

Answer 4

Saber la razón por la que se crearon no necesariamente lo ayudará a comprenderlos (ya que han encontrado un sinfín de usos más allá del contexto de su creación), pero si todavía está interesado, le recomiendo la respuesta de Mark Eichenlaub a ¿Por qué las personas crearon números complejos?

Puede ser útil poner la creación de números en contexto, como puede leer en la respuesta de Prasham Rambhia a ¿Por qué las personas crearon números complejos? No es muy diferente a la creación de números negativos o números racionales.

No especifica exactamente lo que está tratando de entender, por lo que mi consejo general es examinar el tema de Quora: Números complejos. Creo que innumerables variaciones de esta pregunta ya tienen respuestas allí.

Answer 5

Estoy seguro de que puede aprender leyendo las respuestas a estas preguntas:

¿Para qué se usan los números imaginarios en el mundo real?

Matemática Aplicada: ¿Qué son los números imaginarios?

Answer 6

Esta es una gran introducción a los números imaginarios. Si desea más detalles, vería los otros videos de la serie.