La convención es establecer [math] \ binom {0} {0} = 1 [/ math].
Esto puede interpretarse como que dice “hay una forma de elegir no manzanas de una cesta vacía”. La interpretación puede sonar un poco extraña, y uno podría discutir interminablemente sobre si realmente existe una manera o si no hay forma de elegir ninguna manzana de una colección vacía. Pero hay muchas buenas razones para adoptar esta convención, y se adopta universalmente.
El número [math] \ binom {n} {k} [/ math] es la cantidad de formas de elegir [math] k [/ math] objetos de entre [math] n [/ math]. Si necesita elegir cinco niñas para la alineación inicial de un juego de baloncesto de las ocho que vinieron a jugar, puede hacerlo de [math] \ binom {8} {5} = 56 [/ math] maneras. Hay [matemáticas] 56 [/ matemáticas] posibles equipos iniciales.
Estos números, a menudo llamados coeficientes binomiales, admiten una deslumbrante variedad de patrones y conexiones. Por ejemplo,
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[matemáticas] \ binom {n} {k} = \ binom {n-1} {k-1} + \ binom {n-1} {k} [/ matemáticas]
Esto simplemente expresa el hecho de que los equipos de cinco jugadores pueden dividirse en dos: los que incluyen a Maya y los que no. En general, puede seleccionar un objeto y verificar cuántos conjuntos lo contienen y cuántos no.
Organizando los números en una matriz triangular, obtenemos el conocido Triángulo de Pascal, y el patrón que acabamos de ver dice que cada número es la suma de los que están sobre él.
Para que esto funcione en toda la disposición, establecemos los bordes del triángulo para que sean [matemática] 1 [/ matemática] s (que expresa el hecho de que [matemática] \ binom {n} {0} = \ binom {n} {n} = 1 [/ math]), y eso incluye la parte superior, que es [math] \ binom {0} {0} [/ math]. En otras palabras, establecer [math] \ binom {0} {0} [/ math] en cualquier cosa que no sea [math] 1 [/ math] causaría que nuestra regla se rompa.
También es cierto que
[matemáticas] \ displaystyle 2 ^ n = \ sum_ {k} \ binom {n} {k} [/ matemáticas]
Esto solo dice que si cuenta todos los conjuntos que se pueden elegir entre los objetos [matemática] n [/ matemática] independientemente de su tamaño, obtendrá [matemática] 2 ^ n [/ matemática], como debería. Nuevamente, establecer [math] n = 0 [/ math] fuerza [math] \ binom {0} {0} [/ math] para ser [math] 1 [/ math].
También es cierto que
[matemáticas] \ displaystyle \ binom {n} {k} = \ frac {n!} {k! (nk)!} [/ matemáticas]
Al establecer [math] n = k = 0 [/ math] y usar la convención estándar [math] 0! = 1 [/ math] (que tiene sus propias muy buenas razones) encontramos, una vez más, que [math] \ binom {0} {0} = 1 [/ matemáticas].
Y así. En realidad, hay una gran cantidad de relaciones, identidades y patrones que funcionan excelentemente bien con esa convención y se romperían si hubiéramos adoptado algo más.