Si elijo al azar un número entero entre 1-100 ochenta veces, ¿cuál es la probabilidad de que no elija el mismo número más de una vez?

EDITAR Si no tiene una calculadora, puede ver esto como un binomio con p = 99/100 yn = 79 y luego usar la aproximación normal al binomio, con

[matemáticas] \ mu = (99/100) (79), \ sigma = [79 (99/100) (1– (99/100))] ^ {1/2} = [np (1-p)] ^ {1/2} = [7821/10000] ^ {1/2} = .89 [/ matemáticas], luego

[matemáticas] Z = \ frac {X-78.21} {\ sigma} [/ matemáticas]

es un estándar normal, es decir, es un N (0,1) y puede buscar los valores en una tabla normal estándar. De acuerdo con esta Calculadora binomial, la probabilidad es de alrededor de .45. Esta es una versión del problema de cumpleaños (consulte mi edición a continuación) con un cumpleaños fijo, es decir, queremos ver la probabilidad de que, al extraer de una colección de 100 fechas, y un cumpleaños fijo b = xx / aa = dd / mm, nadie más tiene el mismo cumpleaños que b.

EDITAR: estaba asumiendo que había un número fijo que no repetíamos, no que ninguno de una serie de números se repetiría. Mi solución es para el primer caso. De lo contrario, use la respuesta de Steven Smith.

Esto es como el problema del cumpleaños.

La primera vez, la probabilidad es 100/100 porque no hay otro número.

La segunda vez la probabilidad es 99/100 porque no puede coincidir con la primera

La tercera vez la probabilidad es 98/100 porque no puede coincidir con los primeros 2.

seguimos y seguimos hasta llegar a la 80ª vez donde la probabilidad sería 21/100

Por lo tanto, obtienes 100 * 99 * 98 * 97 * 96 *… * 24 * 23 * 22 * ​​21/100 ^ 80

Es lo mismo que [math] _ {100} P_ {80} / 100 ^ {80} [/ math]

En otras palabras, muy pequeño.

Para dar una perspectiva, la probabilidad sería inferior al 50% a partir de 13 enteros aleatorios, la probabilidad sería inferior al 1% a partir de 30 enteros aleatorios, a 49 enteros aleatorios la probabilidad es [matemática] 6.0167 * 10 ^ {- 7 }[/matemáticas]. Después de eso, mi calculadora se niega a participar: p

Recientemente he descargado un cálculo de precisión completa, por lo que voy a enumerar la respuesta completa de precisión ahora: [matemáticas] \ frac {} {38360038805627158423173637987476768557382879954614887864982102519086400213229835056832484603595932502462923859608312217600000000000000000000 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000} [/ matemáticas]

Lo que se simplifica a:

Gran cantidad de personas.

En forma decimal:

[math] \ scriptsize 0.00000000000000000000383600388056271584231736379874767685573828799546148878649821025190864002132298350568324846035959325024629238596083122176 [/ math]

Por lo tanto, la probabilidad es de aproximadamente 1 / 260,687,953,176,237,861,065

o menos de uno en 260 quintillones.

Ese número es tan grande que la mayoría de la gente ni siquiera sabe el nombre, los cuatrillones y los quintillones no se usan en un lenguaje común. De hecho, mi corrector ortográfico lo está marcando porque ni siquiera sabe que existe 🙂