Si coloreo un segmento de 0 a 1 con el color rojo para cada número racional y el color azul para cada número irracional, ¿cómo se vería el segmento?

Answer 1

Si la pregunta es acerca de cómo los números racionales e irracionales se organizan en la recta numérica, entonces, en respuesta a esta pregunta, me viene a la mente el argumento de Arnold para un mapa circular. Vladimir Arnold fue un matemático que introdujo el mapa circular mientras estudiaba el acoplamiento no lineal. La ecuación del mapa circular es: [matemáticas] \ theta _ {(n + 1)} = \ theta_ {n} + \ omega + \ frac {K} {2 \ pi} \ sin (2 \ pi \ theta_ {n} )[/matemáticas]

donde [math] \ omega [/ math] es la frecuencia de conducción y K la fuerza de acoplamiento. Esta ecuación tiene estados estables o se comporta como un sistema de “modo bloqueado” cuando K [math] \ leq 1 [/ math] y [math] \ omega [/ math] es un número racional.

Este es un mapa iterativo que se utiliza para comprender diversos mecanismos, como el bloqueo de modo en sistemas planetarios o la arritmia cardíaca.

Menciono esto aquí porque las gráficas trazadas para el mapa circular (estados periódicos y cuasi periódicos) muestran la sorprendente pantalla fractal de números racionales e irracionales en la recta numérica.

En el mapa de la lengua de Arnold, el eje X es [math] \ omega [/ math] y el eje Y es K. Deberíamos estar interesados ​​en K = 1 o menos, ya que K mayor que 1 muestra caos (región blanca). El azul en el gráfico muestra que se establece estable cuando [math] \ omega [/ math] es una buena forma [math] \ frac {p} {q} [/ math] (número racional). El verde muestra números irracionales. Puede obtener más de las llamadas “lenguas” para incluir números más racionales si aumenta el valor de q (el denominador) en el código. (¡También puedes buscar en Google la lengua de Arnold! Hay muchas tramas geniales de lo mismo)
Un subproducto del mapa circular son los números sinuosos dados como [math] \ liminf \ frac {\ sum \ theta_n} {n} [/ math].

Una gráfica de estos números sinuosos también produce una estructura fractal llamada la escalera del Diablo (el gráfico anterior es del sitio web de Wolfram). Es un gráfico monótono que se mueve hacia arriba cuando [math] \ omega [/ math] es irracional y permanece igual cuando [math] \ omega [/ math] es racional. Es una escalera sin fin que también exhibe una estructura fractal.

Tanto la lengua de Arnold como la escalera del diablo muestran, entre otras cosas, la disposición de los números racionales e irracionales en el intervalo [0,1].
1. Cualquier ventana más pequeña entre 0 y 1 mostrará la misma estructura que el conjunto [0,1]. La estructura es auto similar, por lo tanto, un fractal.
2. Hay infinitos números irracionales, pero igualmente importante es el hecho de que también hay infinitos números racionales en un intervalo dado, cada uno con su propia ubicación y dirección en la recta numérica.
3. Muchos fenómenos naturales exhiben su estado de estabilidad dependiendo de cuán racional o irracional sea su frecuencia de conducción.

Espero que esta respuesta te ayude a echar un vistazo a través de la increíble ventana de [0,1].

Answer 2

Esta es realmente una pregunta muy interesante desde una perspectiva matemática pura, la respuesta realmente depende de los detalles (no dichos) de su pregunta. A saber, ¿qué procedimiento utilizas para hacer esta coloración?

Ahora hay dos formas de interpretar su pregunta. El enfoque ‘simple’ y el enfoque ‘alucinante’.
En primer lugar, debemos tener en cuenta que un punto no tiene “área” o “longitud”. No importa cuántos puntos tome, todavía no tiene longitud.

Dicho esto, el enfoque simple es que comienzas con una línea azul y luego comienzas a colorear todos los puntos racionales como rojos. Si bien este procedimiento tomará una eternidad, los fundamentos le permitirán enumerarlos [vea el argumento diagonal de Cantor] y, por lo tanto, se puede hacer (en teoría). Lo que queda atrás son los irracionales.

Sin embargo, no importa cuántos puntos agregue, ya que la longitud de cada punto es cero, no está haciendo mella en el color de la línea, ya que la longitud total de la sección roja es 0.

Tenga en cuenta que este resultado depende de cualquier propiedad específica de los racionales, simplemente es el resultado de intentar enumerar a través del continuo. Es como inclinarse en los molinos de viento. Incluso si sigues contando para siempre (racionales, irracionales, lo que sea), nunca comenzarás a arañar la superficie, porque el continuo es una bestia completamente diferente.

Y esto lleva a una interpretación más alucinante: ¿qué pasa si comienzo con una línea en blanco y pinto cada rojo racional y cada azul irracional?
A medida que comienzas a razonar sobre esto, te enfrentas a las partes más esotéricas (y realmente extrañas) de la teoría de conjuntos: el Axioma de elección y la teoría de conjuntos de Zermelo Frankel. Y a menos que realmente tenga que saber la respuesta a esta pregunta, por su cordura (consulte Conocimiento peligroso), le recomendaría sinceramente dejar esta lata de gusanos sin abrir.

Pero, básicamente, hay algo en el continuo que no solo hace que sea imposible contarlos todos (es decir, enumerarlos), sino que tampoco es una pregunta directa de cómo seleccionar un punto en particular.

[Bonificación], si desea construir líneas de varios tonos de púrpura, puede tomar la construcción de Cantor (conjunto de Cantor) de subdividir una línea y cambiar el nivel de subdivisión. Aquí, la naturaleza fractal del conjunto le permite, con operaciones contables, influir en el continuo incontable.

Answer 3

El color teórico de su segmento de línea depende de qué propiedad de la línea real le gustaría usar.

Estrictamente hablando, necesitará un área de al menos un micrómetro por un micrómetro para obtener un color visible, y ningún segmento de línea tiene ningún color. Ignoremos eso y definamos un “color teórico”, [matemáticas] C [/ matemáticas], basado en puntos matemáticos.

Hay dos propiedades del segmento de línea real [matemática] [0,1] [/ matemática] que dan resultados diferentes para [matemática] C [/ matemática]:

1. Densidad
2. Cardinalidad

La densidad implica púrpura

Entre dos números racionales rojos hay un número irracional azul. Entre dos números irracionales azules hay un número racional rojo. Se dice que ambos conjuntos de números son densos . Está bastante claro que tenemos una mezcla muy completa de rojo y azul [matemáticas] \ equiv [/ matemáticas] púrpura .

La cardinalidad implica azul

Solo hay innumerables racionales rojos en comparación con incontables irracionales azules en [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas]. A pesar de su densidad, los racionales forman un conjunto de medida cero, mientras que los irracionales forman un conjunto de medida uno. ¡El segmento de línea es casi todo azul !

Answer 4

Azul.

Hay un número infinito de números racionales, eso es cierto. pero puedes unir cada número racional con un número natural (¡pruébalo!). eso significa que puedes “contarlos” de alguna manera. Esto implica que su cardinalidad es aleph-0 (Aleph-0 – de Wolfram MathWorld).
Pero, aunque también hay una cantidad infinita de números irracionales, no puede hacer coincidir cada número natural o racional con cada número irracional, porque es un infinito diferente, y mucho más grande (Aleph-1 – de Wolfram MathWorld).
Debido a que hay un número infinitamente más irracional que números racionales, los puntos “rojos” serán infinitamente pequeños (= cero) y verá solo una línea azul.

Answer 5

Varias de las respuestas esquivan el problema innecesariamente. Aunque no es posible producir un segmento de línea de este tipo, es posible contemplar cuál sería su color de manera tangible. Por ejemplo, en lugar del segmento de línea [0,1], podemos considerar el cuadrado de la unidad [0,1] x [0,1], donde por cada y fija en [0,1], el segmento de línea [matemática] \ {(x, y) | x \ in [0,1] \} [/ math] está coloreado como en la pregunta. Ahora tenemos un objeto con área positiva.

La forma en que abordo la pregunta es como un proceso limitante. Si mezclamos partes iguales de rojo y azul, obtenemos púrpura. Si mezclamos 10% de rojo con 90% de azul, obtenemos … bueno, no lo sé, pero será mucho más parecido al azul que al púrpura. Si mezclamos 0,0001% de rojo con 99,9999% de azul, será indistinguible del azul. En el caso de nuestra unidad cuadrada, el área (o medida de Lebesgue, si lo prefiere) de la porción roja es cero (o si esa noción lo incomoda, la porción roja es más pequeña que cualquier proporción positiva que podamos contemplar). Además, la densidad de los racionales significa que el color estará bien mezclado. De esto concluyo que el cuadrado será azul.

Answer 6

Solo azul La densidad de los números irracionales está tan lejos de cualquier medida racional (juego de palabras) de la densidad de los números racionales que cualquier contribución del rojo se perdería. Si bien es cierto que el púrpura es una mezcla de rojo y azul, en este caso el azul es demasiado.

Answer 7

No soy matemático, pero creo que será azul, hay infinitos números más racionales que números irracionales. La cardinalidad (que es una forma de medir el tamaño de conjuntos infinitos) de números racionales es aleph-null o la misma que la de los números contables (es decir, 1, 2, 3, 4 …). Sin embargo, los números irracionales son infinitamente infinitos.

Answer 8

Existe la noción de que no se pueden comparar todos los infinitos, sin embargo, hay una cosa segura: hay más números irracionales que racionales (este reciente video de Ted-ed lo explica). Entonces, sería azul (ya que la diferencia entre los números irracionales y racionales sería infinita).

Answer 9

Creo que habría un número infinito de números racionales e irracionales entre dos puntos en la recta numérica real. Por lo tanto, su línea tendría que aparecer de color púrpura, pero en realidad sería imposible lograr esto sin limitar el conjunto de números que permitirá.