Si tengo dos distribuciones de probabilidad diferentes, ¿cómo puedo definir la probabilidad de que un sorteo aleatorio del primero> sorteo aleatorio del segundo?

Answer 1

Supongamos que la primera variable aleatoria se llama X y la segunda Y. Supongamos también que los CDF son

[matemáticas] F_1 (x) = x, F_2 (y) = y ^ 2 [/ matemáticas].

Entonces estás buscando

[matemáticas] P (X> Y) [/ matemáticas]

que se obtiene sumando todos los valores posibles [matemática] y [/ matemática] para Y de manera que

[matemáticas] P (X> y) [/ matemáticas].

Es decir, está buscando una integral o sumatoria (dependiendo de si su variable [matemáticas] Y [/ matemáticas] es continua o discreta). Supongamos que es una integral, entonces —utilizando la fórmula de probabilidad condicional [matemática] P (A \ y \ B) = P (B) P (A \ given \ B) [/ math]

[matemática] P (X> Y) = \ int_Y f_2 (y) P (X> y) dy [/ matemática]

dónde

[matemáticas] f_2 (x) = \ frac {d} {dx} F_2 (x) [/ matemáticas]

y

[matemáticas] P (X> y) = 1- F_1 (y). [/matemáticas]

Answer 2

Supongamos que se dan dos variables aleatorias [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] Y [/ matemáticas], con funciones de distribución acumulativa [matemáticas] F_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] F_2 [/ matemáticas], respectivamente. Entonces la probabilidad de que [matemática] X

En el caso de su ejemplo particular (suponiendo que las variables están destinadas a oscilar entre 0 y 1, según los cdfs dados), esto nos da una respuesta de [matemáticas] \ int_ {0} ^ {1} x ^ 2 (\ frac {d} {dx} x) dx = \ int_ {0} ^ {1} x ^ 2 dx = \ frac {1} {3} [/ math].

Answer 3

Con los sorteos de las dos distribuciones que se llaman X e Y, esto equivale a preguntar: ¿Cuál es la probabilidad de que X – Y> 0. Por lo tanto, estaría interesado en trabajar con su suma (diferencia, pero puede multiplicar Y con menos uno para hacer una suma, solo para generalizar el problema en algo más simple)
Una búsqueda en Google de “Sumas de variables aleatorias independientes” proporcionará mejores explicaciones de las que puedo proporcionar. 🙂 Solo observe que si las dos distribuciones están normalmente distribuidas, la respuesta es un poco más fácil [1] a medida que obtiene una nueva distribución normal. Y si solo está interesado en el promedio del resultado en muchos sorteos, es aún más fácil. Simplemente tome la media de X menos la media de Y. Esto funciona desde E [aX + bY] = aE [X] + bE [Y] donde E es el ‘valor esperado’.

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Sum …