Tengo pruebas de Bernoulli con probabilidad p. El experimento se detiene cuando se alcanzan k éxitos o después de un máximo de N ensayos. Cuál sería el número esperado de éxitos. O, alternativamente, ¿cuál sería la proporción esperada de éxitos / ensayos?

Answer 1

Si desea el número esperado de ensayos, creo que el siguiente enfoque funcionará (pero no lo pensé cuidadosamente). Sea [math] X [/ math] el número de pruebas y [math] p = P (X <N) [/ math].
Podemos escribir
[matemáticas] E (X) = pE (X | X <N) + (1-p) N [/ matemáticas]
[math] p [/ math] es solo un cálculo con el cdf binomial negativo ordinario, que puede hacer con un software estadístico como R. Lo que queda es calcular [math] E (X | X <N) [/ math].

Si [math] Y [/ math] denota una variable aleatoria binomial negativa ordinaria con parámetros correspondientes a [math] X [/ math], entonces
[matemática] E (X | X <N) = E (Y | Y <N) [/ matemática] y
[matemática] E (Y) = pE (Y | Y <N) + (1-p) E (Y | Y \ geq N) [/ matemática]
[matemática] E (Y) [/ matemática] puede buscarse, [matemática] p [/ matemática] puede calcularse como se indica arriba, y [matemática] E (Y | Y \ geq N) [/ matemática] puede calcularse utilizando el método descrito aquí: http://cran.r-project.org/web/pa….
Las fórmulas no se pueden aplicar directamente ya que el binomio negativo se parametriza en términos de la cantidad de fallas en lugar de la cantidad de pruebas.

Entonces puedes resolver [matemáticas] E (Y | Y <N) [/ matemáticas], que te da [matemáticas] E (X | X <N). [/ Matemáticas]