Estoy convencido de que [math] i = \ sqrt {-1} [/ math] no existe o no tiene sentido. Si me equivoco y lo hace, ¿cómo está bien decir que [math] 1 = \ pm 1 [/ math]?

Answer 1

i es un símbolo que es la abreviatura de un ‘número’ que cuando se eleva al cuadrado es igual a menos 1, entonces:

[matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas] por definición.

No nos importa ni nos preocupa “si existe”, nos preocupa si es útil tener dicho símbolo. ¡Después de que todos los filósofos todavía están discutiendo si existimos o si somos producto de la imaginación de alguien o incluso de personajes en una simulación!

Tomando la raíz cuadrada de la ecuación anterior, vemos que [math] i = \ sqrt {-1} [/ math] pero solo usamos la primera ecuación para darle significado a la segunda.

1 es igual a [matemáticas] \ pm 1 [/ matemáticas] claramente – el segundo caso aplica [matemáticas] 1 = +1! [/ Matemáticas]

Al usar el símbolo i en este contexto podemos:

a) Asegúrese de que todos los polinomios de grado n tengan exactamente n raíces, aunque algunos pueden repetirse.

b) Modele todos los circuitos electrónicos pasivos utilizando una versión compleja de resistencia llamada impedancia para que [math] V = IR [/ math] se generalice a [math] V = IZ [/ math] para todos los circuitos pasivos combinando inductancia y capacitancia en resistencia como ecuaciones.

Al final, nos beneficiamos tanto al usar este símbolo que sería una tontería no hacerlo. ¡Solo piense en lo que sucedería si decidiéramos no usar las matemáticas y confiamos en hacer cálculos usando palabras en lugar de símbolos!

Answer 2

El problema, que se desprende del comentario que dejó, es la idea errónea (comprensible) de que [matemática] \ sqrt {u} \ times \ sqrt {v} = \ sqrt {u \ times v} [/ math] cuando ambas [ math] u, \, v \ in \ mathbb {C} [/ math]. Si bien el resultado anterior es válido para números reales, generalmente no es cierto para números complejos, porque existe el problema de seleccionar ramas. Por convención, si [math] a> 0 [/ math] es un número real, [math] \ sqrt {a}> 0 [/ math] es el valor de la función de raíz cuadrada. Pero siempre existe la opción de [matemáticas] – \ sqrt {a} <0 [/ matemáticas] para satisfacer la ecuación [matemáticas] x ^ 2 = a [/ matemáticas]. Si [math] a [/ math] no es un número real no negativo, se hace más difícil justificar una elección particular de rama de la raíz cuadrada, y a menudo es más beneficioso considerar ambas ramas.

También hay otro problema de interpretación matemática. Considere [math] (\ pm1) \ times (\ pm1) [/ math]. Esto es lo mismo que [math] (+ 1) \ times (+1) = 1 [/ math] o [math] (- 1) \ times (-1) = 1 [/ math]. El resultado es que [math] (\ pm1) \ times (\ pm1) = 1 [/ math]. Debes tener cuidado al analizar casos como ese.

Vale la pena entender cuál es el llamado “número” [matemáticas] i [/ matemáticas] en realidad: es simplemente algo que satisface la propiedad [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]. Todo lo demás que trata con números complejos (que se llaman “complejos” porque están formados por más de una parte, la forma en que los edificios conectados se llaman complejos) se deriva de la idea de que el álgebra con números complejos todavía funciona de la misma manera que lo hace con los llamados números “reales”.

Una forma adicional de entender los números complejos es simplemente como pares ordenados de números reales con una forma especial de multiplicación definida en ellos. Esa definición es [math] (a, b) \ times (c, d) = (ac-bd, ad + bc) [/ math]. En esta configuración, todos los pares ordenados de la forma [math] (a, 0) [/ math] corresponden al número real [math] a [/ math] (y puede verificar que la regla de multiplicación anterior funcione como lo haría esperar), y el par ordenado [math] (0,1) [/ math] tiene la propiedad de que [math] (0,1) \ times (0,1) = (0 \ times0 – 1 \ times1,0 \ times1 + 0 \ times1) = (-1,0) [/ math] con esta forma especial de “multiplicación para pares ordenados” (AKA multiplicación de números complejos). Si comienza a aprender más sobre aritmética y álgebra con números complejos, verá cómo funciona todo. No se preocupe demasiado: los números complejos causaron mucha consternación cuando se introdujeron por primera vez, ¡pero al final fueron aceptados porque funcionan !

Answer 3

Si no le importa, copiaré un texto que escribí para una pregunta similar, para que pueda ver (y responderá a otra respuesta):

1. cómo se define correctamente la raíz cuadrada
2. por qué la notación [math] \ sqrt {-1} [/ math] es abusiva, conduce a un error y por qué no la usamos (entonces [math] \ sqrt {-1} [/ math] no existe como no se ha definido, pero el concepto [matemáticas] i [/ matemáticas] sí.

Citar:

Lo que realmente tenemos aquí es un problema de definición. A los matemáticos (por favor, detenganme si me equivoco) no les gusta hablar sobre la raíz cuadrada de los números negativos. Y eso tiene que ver con las definiciones. Veamos cómo definimos la raíz cuadrada de un número positivo dado. [math] b = \ sqrt {a} [/ math] es el número para que [math] b ^ 2 = a [/ math]. El problema en la declaración que acabo de hacer es que dos números corresponden. Por ejemplo, [matemáticas] (- 3) ^ 2 = 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 ^ 2 = 9 [/ matemáticas], por lo que tenemos que elegir entre 3 y -3. Los matemáticos se rascaron la barba o cualquier atributo velludo que les dio su género o su propia evolución, y decidieron que la definición era: [matemáticas] b = \ sqrt {a} [/ matemáticas] es lo positivo ([matemáticas] \ geq 0 [/ matemáticas ]) número para que [matemática] b ^ 2 = a [/ matemática]. Ahora digamos que queremos definir la raíz cuadrada para un número negativo. Hacemos lo mismo con [matemáticas] -9 [/ matemáticas] como lo hicimos con [matemáticas] 9 [/ matemáticas] y tenemos dos candidatos: [matemáticas] 3i [/ matemáticas] y [matemáticas] -3i [/ matemáticas] . Ay. Esos son números complejos, y no podemos definir un orden en esos (¿cómo compararía [matemática] 1 + 2i [/ matemática] y [matemática] 2 + i [/ matemática]?) Entonces no podemos decir hay un candidato más obvio que otro, como lo hicimos antes de elegir el positivo. Bueno, sé que dirías “¡Tomemos el que no tiene signo menos!” pero, debes saber que ya definimos arbitrariamente [math] i [/ math] de esta manera (un número tal que su cuadrado sea igual a [math] -1 [/ math]), y que no ayudaría a la extensión a otros raíces (número [matemática] -9 [/ matemática] tiene 3 terceras raíces diferentes, y dos de ellas son números complejos con partes reales e imaginarias, por lo que realmente NO hay candidatos distinguibles).

Answer 4

Tienes razón. [matemáticas] i [/ matemáticas] no tiene sentido.

• La cuadratura [matemática] i [/ matemática] produce un número negativo.
• Ninguna de las tres afirmaciones “[matemática] i = 0 [/ matemática]”, “[matemática] i <0 [/ matemática]”, “[matemática] i> 0 [/ matemática]” es verdadera.
• [math] e ^ i [/ math] está relacionado con los valores de [math] \ cos 1 [/ math] y [math] \ sin 1 [/ math].
• [matemática] i [/ matemática] es necesaria para encontrar la solución real de la ecuación cúbica [matemática] x ^ 3-6x + 2 = 0 [/ matemática].

Necesitas soportar estas propiedades sin sentido de [math] i [/ math] para entender números complejos.

Answer 5

En resumen, sí, estás equivocado. Pero probablemente porque no has visto una construcción / discusión rigurosa de números complejos. Pero en realidad, todo lo que necesita saber es que, como espacio vectorial real, los números complejos son solo el plano con una multiplicación adicional que lo convierte en un campo cerrado algebraicamente. Y yo es solo el vector (0,1). Entonces, si crees que el avión existe, ¡debes creer que yo existo!

Answer 6

Como dijo mi maestro de matemáticas cuando presentó números complejos por primera vez: “Dios nos dio los números contables, el resto es invención del hombre”.

Lo que realmente quiso decir es que no necesitas “creer” un concepto matemático, solo necesitas ver la utilidad de la técnica. Los números complejos son extremadamente útiles para ayudar a resolver ciertos tipos de problemas.

No te preocupes por las creencias. Solo imagina lo que puedes hacer con la técnica.

PD: En las comunicaciones móviles utilizamos notación compleja todo el tiempo. En particular, los sistemas 4G LTE recientes se definen en los estándares utilizando números complejos y, por lo tanto, tienen aplicaciones muy reales.

Answer 7

WS Warthog tuvo la idea correcta, pero no la explicó. Así que inténtalo de otra manera: ¿estás convencido de que existen líneas?

En la geometría euclidiana, una línea debe tener un ancho cero y puede extenderse indefinidamente en cualquier dirección. Tal cosa no ha existido o existirá en el mundo físico. Y no tiene sentido suponer que tal cosa podría.

Sin embargo, todo el campo de la geometría euclidiana depende del uso de líneas (y conceptos similares) en varias combinaciones. Y ha resultado ser bastante útil en el mundo físico. Entonces, aunque no puedo hacer una línea verdadera y dártela, puedo decir que “existen” en matemáticas.

El punto es que las matemáticas se basan en conceptos abstractos para los que podemos definir ciertas propiedades, no necesariamente en el mundo físico. Algunos son más abstractos que otros. Pero se puede hacer que la mayoría parezca absurda si te esfuerzas lo suficiente. Por ejemplo, nunca puede tener exactamente la mitad de una manzana, por lo que también podría afirmar que “1/2” no existe y no tiene sentido.

Si queremos que todos los números tengan una raíz cuadrada, necesitamos hacer un concepto abstracto para la raíz cuadrada de -1. Hemos hecho esto, y lo llamamos “i”. No es el mismo tipo de número que 1, o -42; pero, de nuevo, ninguno es 1/2. Sin embargo, todo lo que tenemos que hacer para llamarlo un número es crear una matemática coherente que la use de manera similar. Lo hemos hecho, y hay muchas maneras en que es útil en el mundo físico.

Answer 8

He visto tu comentario Déjame darte una situación muy similar, que no requiere el uso de i .

1 = sqrt (1)

-1 = sqrt (1)

Ambas son declaraciones válidas, ¿verdad? Pero entonces,

1 = -1

¿Ya te ha sorprendido la mente? Supongo que esto significa que la raíz cuadrada de 1 no existe, ¿verdad?

El problema con el que nos encontramos es que la función de raíz cuadrada solo funciona como una función cuando ignoramos las posibilidades negativas. Recuerde, para que algo sea una función, debe poder obtener no más de un número por cada número que conecte. Por lo tanto, no puede enchufar 1 y obtener 1 y -1. Del mismo modo, no puede enchufar -1 y obtener i y -i . Entonces, tanto 1 como -1 al cuadrado son iguales a 1, pero sqrt (1) = 1, no -1. Este es el problema con su razonamiento en su comentario; decidió usar ambos +/- i , lo que realmente no se sostiene: elija solo uno y manténgalo.

Answer 9

Estoy convencido de que [math] i = \ sqrt {-1} [/ math] no existe o no tiene sentido.

Bueno, aquí está tu problema. Ha decidido que preferiría aplicar una regla que aprendió, en un contexto donde no se aplica, que aprender un nuevo contexto donde las reglas son diferentes. Esa es su elección, por supuesto, pero es importante reconocer que el problema básicamente proviene de esta elección que haga.