Por lo tanto, este es un buen ejercicio que podría proporcionar una idea de cómo se definen las cantidades matemáticas en primer lugar.
Primero, definiremos con qué estamos trabajando. Nuestra curva (que llamaremos [matemática] \ gamma [/ matemática]) será un conjunto de puntos [matemática] (x, y) [/ matemática] que está parametrizada por algún número real [matemática] s [/ matemática] – es decir, [matemáticas] x = x (s) [/ matemáticas] y [matemáticas] y = y (s) [/ matemáticas] son funciones suaves.
La curvatura en algún punto [matemática] p [/ matemática] debería indicarnos el grado en que [matemática] \ gamma [/ matemática] no es una línea recta. Bien, ¿cómo se ve una línea recta? En nuestras coordenadas parametrizadas, una línea recta tiene la forma
[matemáticas] x (s) = x_0 + a \ cdot s [/ matemáticas]
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[matemáticas] y (s) = y_0 + b \ cdot s [/ matemáticas]
El vector tangente a nuestra curva es
[matemáticas] \ vec t = \ langle x ‘(s), y’ (s) \ rangle = \ langle a, b \ rangle [/ math]
Claramente, este es un vector constante, por lo que podríamos decir que una línea recta se define por el hecho de que
[matemáticas] \ frac {d} {ds} \ vec t = \ langle x ” (s), y ” (s) \ rangle = 0 [/ math]
Ok genial. Entonces, necesitaríamos una definición de curvatura [matemática] K (s) [/ matemática] tal que [matemática] x ” (s) = y ” (s) = 0 [/ matemática] implica que [matemática] K ( s) = 0 [/ matemáticas].
Ingenuamente, podríamos imaginar que podríamos definir la curvatura para ser
[matemáticas] K_0 (s) = \ left | \ frac {d} {ds} \ vec t \ right | = \ left | \ langle x ” (s), y ” (s) \ rangle \ right | [/matemáticas]
y terminemos con eso. Podrías hacer eso, pero te encontrarás con problemas muy rápidamente. Considere el caso de la parábola definida por
[matemáticas] x (s) = s [/ matemáticas]
[matemáticas] y (s) = s ^ 2 [/ matemáticas]
Es bastante fácil demostrar que
[matemáticas] K_0 (s) = 2 [/ matemáticas]
¿Qué tiene de malo esto? Bueno, antes que nada, según nuestra definición, la parábola tiene una curvatura constante; intuitivamente, sin embargo, debe quedar claro que la curvatura cerca del origen debe ser mayor que la curvatura en otros lugares. El problema se hace mucho, mucho peor al volver a parametrizar:
[matemáticas] x (s) = s ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] y (s) = s ^ 4 [/ matemáticas]
Uh oh, ahora tenemos eso
[matemáticas] K_0 (s) = \ sqrt {4 + 144s ^ 2} [/ matemáticas]
¿Dos curvaturas claramente diferentes para exactamente la misma curva? Esto no es bueno en absoluto.
Nuestros errores fueron los siguientes:
- El vector tangente podría cambiar de dirección, pero también podría cambiar de longitud sin dejar de ser recto. Por lo tanto, las líneas rectas podrían tener un valor distinto de cero [matemática] K_0 [/ matemática].
- Incluso si el vector tangente nunca cambia en magnitud, diferentes parametrizaciones equivalen a viajar a lo largo de la curva a diferentes “velocidades”. Por lo tanto, ir a lo largo de la curva “más rápido” producirá una mayor [matemática] K_0 [/ matemática].
Obviamente, necesitamos una definición de curvatura que sea parametrización, independiente. El primer error se puede rectificar mirando no el vector tangente, sino más bien el vector tangente normalizado :
[matemáticas] \ vec t_n = \ frac {\ langle x ‘(s), y’ (s) \ rangle} {\ sqrt {x ‘(s) ^ 2 + y’ (s) ^ 2}} [/ math ]
Nuestro segundo error se puede solucionar diferenciando con respecto a la longitud del camino diferencial [matemática] dl = \ sqrt {x ‘(s) ^ 2 + y’ (s) ^ 2} ds [/ matemática]. De esa manera, la “velocidad” a la que nos movemos a lo largo de la curva es irrelevante, porque estamos dividiendo el cambio en el vector tangente normalizado por la longitud de nuestro paso infinitesimal a lo largo de la curva .
El resultado requiere un poco de álgebra directa (pero tediosa), pero la respuesta a la que llegamos es
[matemáticas] K (s) = \ left | \ frac {d} {dl} \ vec t_n \ right | = \ frac {| x ‘(s) y’ ‘(s) – y’ (s) x ” (s) |} {\ left (x ‘(s) ^ 2 + y’ (s) ^ 2 \ derecha) ^ {3/2}} [/ math]
como se da en el artículo de wikipedia. Puede verificar que esto es independiente de la parametrización. En el caso especial donde [math] y = f (x) [/ math], podemos usar la parametrización
[matemáticas] x = s [/ matemáticas]
[matemáticas] y = f (s) [/ matemáticas]
Llegar
[matemática] K (s) = \ frac {| f ” (s) |} {\ left (1 + f ‘(s) ^ 2 \ right) ^ {3/2}} [/ math]
En lo que respecta a su intento, el ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] que está diferenciando con respecto a [matemática] s [/ matemática] (que llamé [matemática] l [/ matemática]) NO debería ser el ángulo dado por [math] \ theta = \ arctan (y / x) [/ math], que mide la inclinación de un vector que apunta al punto [math] (x, y) [/ math]. En cambio, esa [matemática] \ theta [/ matemática] debería ser el ángulo entre el vector tangente a la curva en [matemática] \ izquierda (x (s), y (s) \ derecha) [/ matemática] y el vector tangente a la curva en [matemáticas] \ izquierda (x (s + ds), y (s + ds) \ derecha) [/ matemáticas] – pero eso es exactamente lo que encontramos arriba, visto desde una perspectiva ligeramente diferente.