Si el sol desapareciera ahora mismo mientras estaba en la playa, ¿todo se oscurecería antes o después de que ya no sienta el calor?

Todas las ondas electromagnéticas viajan a la misma velocidad en el vacío. La luz visible (lo que la hace ligera) y la infrarroja (el calor) son ondas electromagnéticas, por lo que tardan el mismo tiempo en llegar a la Tierra. Este tiempo es de unos 8,3 minutos.
Supongamos también en el espíritu de la pregunta que la luz y el calor dejan de emitirse simultáneamente.
Entonces, 8.3 minutos después de la salida del sol, llegarían la última luz y calor.

Sin embargo, tienen que viajar a través de una delgada capa de atmósfera antes de llegar a ti.
Cuanto más larga es la longitud de onda, menos se ralentiza en la atmósfera. Eso significa que el último calor te alcanzaría antes de la última luz. Sin embargo, la diferencia sería tan leve que no lo notarías.

Entonces, el calor directo del Sol se detendría momentáneamente antes de que oscureciera.
Por supuesto, el calor ambiental que el suelo re-irradia tomaría más tiempo para enfriarse.

El calor del sol se transmite por radiación mediante ondas electromagnéticas, algunas de las cuales son luz visible. Si el sol desapareciera, dejaríamos de experimentar la luz y el calor al mismo tiempo (en 8 minutos y 20 segundos, el tiempo necesario para que la luz solar llegue a la Tierra). Sin embargo, el tiempo para que los ojos humanos procesen la luz es más corto que el tiempo necesario para que la piel sienta cambios de temperatura, por lo que un humano notaría la oscuridad un poco más rápido. Espero que esto haya ayudado!

Dejarías de sentir el calor directo del sol al mismo tiempo que se apagaran las luces.

Sin embargo, no se enfriaría de inmediato. La atmósfera tardaría un tiempo en comenzar a enfriarse.

Mismo tiempo. Tendrías 8 minutos para que se apagara la luz. El calor es solo luz a una frecuencia invisible, por lo que dejaría de ver la luz al mismo tiempo que dejaría de sentir calor.