¿Qué significaría si descubriéramos un fenómeno físico que las matemáticas no pueden describir?

TL; DR: en la actualidad, nunca obtendrá fondos para buscar algo si hay una “prueba” razonablemente matemática de que no existe. (“Prueba” entre comillas para denotar que puede estar equivocado; el instrumento aún no se construirá hasta que la “prueba” sea refutada).

¡Puedo contarte una gran historia sobre eso! Es una historia que comienza con Einstein recibiendo un artículo físico rechazado por un diario y termina con Richard Feynman asistiendo a una conferencia sobre física gravitacional con un nombre falso y hablando de una cuenta adhesiva en un palo.

Estoy hablando, por supuesto, de ondas gravitacionales.

Resulta que una vez que ha escrito las ecuaciones para la relatividad general, no es demasiado difícil escribir una onda plana (que es básicamente cualquier solución no trivial sin fuentes y algún tipo de simetría). Después de todo, uno de los primeros éxitos de la teoría del gran campo anterior, el campo electromagnético de Maxwell, fue arrojar luz como una solución de onda. ¿No sería genial si los campos gravitacionales tuvieran las mismas ondas?

Pero cuando Albert Einstein y Nathan Rosen (del puente Einstein-Rosen, sí) lo resolvieron, encontraron singularidades en sus soluciones que convencieron a Einstein de que las ondas gravitacionales no existían, y presentaron un documento titulado ¿Existen las ondas gravitacionales? a la revisión física. Un árbitro revisó su papel y lo rechazó. Rechazado. Einstein (Einstein nunca volvió a someterse a la Revisión Física). Le tomó a un asistente, Leopold Infeld, transmitir un importante contraargumento de otro experto en relatividad, HP Robertson, que cambió la mente de Einstein y lo convenció de que existen ondas gravitacionales.


Imaginemos dos futuros posibles. ¿Qué pasaría si HP Robertson no hubiera convencido a Einstein de que estaba equivocado y (poco probable) que nadie más se hubiera dado cuenta o haya corregido el error? ¿Y si LIGO hubiera hecho el mismo descubrimiento que hizo en marzo? ¡Entonces todos verían que LIGO había encontrado ondas gravitacionales, pero la teoría de Einstein no los había predicho, y todos se apresurarían a descubrir qué estaba mal con los cálculos de Einstein!

Desafortunadamente, si HP Robertson no hubiera convencido a Einstein de que estaba equivocado, y nadie creyera que existieran ondas gravitacionales, entonces LIGO nunca se habría construido . Fue una colaboración intelectual de miles de millones de dólares y decenios en varios continentes, y nada de eso habría despegado si incluso algunas de estas personas dudaran sinceramente de que LIGO encontraría algo. Por lo tanto, es más probable que las ondas gravitacionales simplemente no se hayan observado, o al menos no durante otras dos o tres décadas. (Jocelyn Bell vio que los púlsares se “reducían” minuciosamente con la emisión de ondas gravitacionales, pero era una observación indirecta que bien podría tener otras explicaciones teóricas).

Entonces, mi respuesta a su pregunta es: si se demostrara que ciertos objetos físicos no pueden existir matemáticamente, sería muy poco probable que se construyera un detector para detectarlos y, a su vez, muy poco probable que se los encontrara alguna vez. Triste pero cierto.


[A] Como habrás adivinado, el árbitro que rechazó el artículo de Einstein para la Revisión física era, de hecho, el propio HP Robertson.

[B] ¡Incluso puedo mostrarte el error matemático que cometieron Einstein y Rosen! Mira esto:

Esto es más o menos lo que parece el espacio-tiempo cuando pasa una onda gravitacional. Una pequeña colección de puntos de prueba colapsa y se expande continuamente. Los cálculos originales de Einstein y Rosen encontraron los puntos de colapso y los etiquetaron como “singularidades”, el tipo que hace que las teorías no sean físicas. Lo que hicieron Robertson e Infeld fue mostrar que estas no eran realmente singularidades (como puede ver) sino firmas de un patrón ondulatorio regular.

[C] ¡Y sí, cuenta pegajosa! Mucho después de que Einstein hubiera cambiado de opinión y aceptara que existían ondas gravitacionales, Rosen se negó obstinadamente e insistió en que eran simplemente artefactos de un cambio de coordenadas en lugar de fenómenos físicos reales. Todo el debate llegó a un punto crítico en una conferencia sobre física gravitacional en Chapel Hill en 1957, donde se produjo una discusión sobre si estas ondas realmente transfirieron energía de un lugar a otro. Richard Feynman (aparentemente bajo un nombre falso) simplemente señaló: si hace que las cosas se muevan, puede hacer que una cuenta se mueva, y si puede hacer que una cuenta se mueva, entonces si la cuenta es pegajosa, se calentará sube el sistema de talón mediante fricción, y esa energía tiene que venir de la onda gravitacional. ¡Auge! Problema resuelto. Las mejores pruebas físicas a menudo son intuitivas con las matemáticas simplemente utilizadas para respaldar la solución intuitiva.

Esto depende de lo que quiere decir con “no puede ser descrito por las matemáticas”. Algunas posibilidades

  • El fenómeno puede ser descrito por las matemáticas en principio, pero no puede ser descrito por las matemáticas actuales o puede ser muy ineficiente. Ejemplo: Relatividad general, los tensores se inventaron como resultado.
  • El fenómeno puede ser descrito por las matemáticas en forma de ecuaciones, pero la solución es muy difícil o imposible con las técnicas informáticas actuales. Ejemplo: la solución de las ecuaciones de Schrödinger para átomos, excepto los casos más simples de hidrógeno y helio. Existe la esperanza de que las computadoras cuánticas puedan resolver mejor estas ecuaciones.
  • El fenómeno es caótico. Puede ser descrito por las matemáticas, pero no es posible una predicción eficiente porque la solución depende en gran medida de las condiciones iniciales. Ejemplo: problema de tres cuerpos.
  • El fenómeno es aleatorio (probabilístico). El fenómeno puede ser descrito por una teoría probabilística, pero la teoría no podría hacer predicciones exactas, solo la probabilidad de los resultados. Ejemplo: mecánica cuántica en un sistema aislado.
  • El fenómeno implica probabilidades inciertas (en principio). El fenómeno puede ser descrito por una teoría posibilista como la teoría de Dempster-Shafer, pero su poder predictivo es incluso menor que el de una teoría probabilística. Ejemplos: mecánica cuántica de un sistema que incluye adecuadamente al observador (mecánica cuántica autorreferencial), mecánica cuántica a escala de tablones.

En resumen: cada fenómeno puede ser descrito por las matemáticas hasta cierto punto, pero la mejor descripción posible puede ser tal que no permita hacer predicciones (buenas).

Tenga en cuenta que la parte del fenómeno que es totalmente impredecible no puede estudiarse con un método científico. Como tal, esta parte no es física . Un fenómeno no puede ser físico en su totalidad. Ejemplos de fenómenos no físicos:

  • Todo lo relacionado con qualia. ¿Qué criaturas pueden y no pueden sentir dolor? ¿Cuál es el mayor dolor posible? ¿Los animales perciben el verdor como nosotros?
  • Todo lo relacionado con la epistemología. ¿Cuál es la probabilidad de nacer en el siglo XX? ¿Cuál es la probabilidad de nacer humano o humano de cierta raza?
  • Eventos relacionados con la existencia del universo. ¿Cuál es la probabilidad de la existencia del universo? ¿Cuál es la probabilidad de que las leyes físicas sean como son?

La medición cuantitativa es cómo las teorías físicas están conectadas con el mundo físico. Entonces, si las matemáticas no pueden describir un fenómeno físico en absoluto, entonces no puede relacionarse con mediciones cuantitativas. Estaría efectivamente fuera del dominio de la ciencia física y, en ese sentido, no sería un fenómeno físico en absoluto.

Las matemáticas no son un lenguaje fijo, sino extensible. En su situación descrita, tomará poco tiempo desarrollar las matemáticas que puedan describir el problema, suponiendo que pueda describirlo de alguna manera.

Eso no significa que las matemáticas puedan encontrar una solución, sino que encontrará una descripción.

Esto nos lleva a la pregunta filosófica de por qué las matemáticas funcionan tan bien para describir el universo. Las matemáticas funcionan porque, empíricamente, el universo es consistente.

Una definición de matemáticas que me gusta es “el estudio de los objetos mentales idealizados”. Por lo general, tomamos un fenómeno físico complejo, lo idealizamos seleccionando las características más importantes e ignorando los detalles irrelevantes, usamos las matemáticas para modelarlo y luego observamos que el fenómeno se comporta mucho como lo sugieren las matemáticas. Entonces, una razón por la que las matemáticas funcionan bien es que antes de aplicar las matemáticas, idealizamos el fenómeno.

Si las matemáticas no funcionan, entonces la fase de idealización se hizo mal. O bien descuidaste los detalles que realmente eran importantes, y puedes aportar más matemáticas para manejarlos, o no pudiste resumir las cosas más importantes para modelar en el mundo puro de las matemáticas.

Las matemáticas parecen funcionar muy bien porque prestamos mucha atención a las áreas donde funciona bien e ignoramos silenciosamente las áreas donde no funciona tan bien. Estamos impresionados con un modelo cuántico de un átomo de hidrógeno. A nadie le preocupa que no puedan llegar a una ecuación para explicar por qué su niño garabateó en la pared.

Creo que eso responde diciendo que ‘solo desarrollaremos más matemáticas’ no se concreta. Si el universo es realmente consistente, entonces debería haber algunas matemáticas que podamos resolver para describirlo, al menos en teoría. Pero las preguntas postulan que el fenómeno no puede describirse matemáticamente. No solo porque todavía no tenemos las matemáticas, o no lo estamos modelando correctamente, sino que fundamentalmente hay algo en el universo que se comporta de una manera que las matemáticas no pueden modelar.

Esto significaría que el universo tiene una inconsistencia. Hay alguna contradicción lógica en el corazón de la misma. En este punto, realmente todas las apuestas están apagadas. Cualquier deducción que alcance usaría lógica, y si el universo no es lógico, no tenemos motivos para confiar en sus deducciones.

Si crees que una contradicción no puede existir, entonces el universo no existiría si contuviera una verdadera contradicción. Alternativamente, puede parecer completamente caótico e incomprensible para nosotros. ¿Tal vez así es como el mundo mira al hombre primitivo? Parece que suceden muchas cosas.

Hay cosas que no somos muy buenos para describir con las matemáticas. Por ejemplo, cómo se comportan las personas individuales. Tenemos algunas reglas generales e intuición. Pero no podemos decir con precisión qué harán, cuándo, por qué y cómo. La gente a veces solo hace cosas. No creo que podamos decir qué átomos radiactivos individuales se van a descomponer en un momento dado. Algunos lo hacen, otros no. Podemos hacer declaraciones estadísticas sobre un grupo, pero no declaraciones precisas sobre partículas individuales. Cuando modelamos fluidos, a menudo podemos hacer un muy buen trabajo, pero en algún momento simplemente decimos “y luego el flujo se vuelve turbulento” y nuestra capacidad de modelarlo se vuelve mucho más débil.

En resumen:

En términos prácticos, significaría que no pudimos entender el fenómeno de manera precisa.

Puede significar que el universo no es lógicamente consistente. Por lo tanto, nunca podremos entenderlo completamente. ¿Es esto un problema con el universo o con nuestras mentes?

Puede significar que el universo no existe. Claro, parece, pero este tipo de inconsistencia podría ser una “falla en la matriz” que sugiere que realmente es una ilusión.

Es posible observar fenómenos físicos para los cuales no existe un modelo matemático adecuado. Cuando encontramos las matemáticas, a menudo podemos entenderlas mejor (o darnos cuenta de lo que no podemos entender). La teoría del caos es un ejemplo.

Los matemáticos puros se enorgullecen de estudiar una rama de las matemáticas que es totalmente inútil; pero a menudo dentro de una generación su contribución, supuestamente inútil, se vuelve bastante útil.

En realidad, esa es una manera importante para que las matemáticas se desarrollen por sí mismas. A veces los matemáticos no están seguros de la dirección exacta de su trabajo. La historia ha demostrado que sin la física (tal vez pueda llamarla necesidad), las matemáticas pueden tardar mucho tiempo en llegar tan lejos.