Esta es una pregunta bastante interesante. Aquí se elaboran las ecuaciones para un caso ideal de un giro superior en un piso menos rígido por fricción. Si se da una velocidad de centrifugado inicial de [math] \ omega_i [/ math] para un top más pequeño y un top más grande, de modo que todas las dimensiones de los tops más grandes son [math] \ alpha [/ math] veces más grandes que las de los más pequeños parte superior. Se descubrió que la parte superior más grande seguiría girando durante un tiempo [matemática] t_b [/ matemática] tal que [matemática] t_b [/ matemática] [matemática] \ aprox \ frac {(k \ sqrt {\ alpha} -1) } {(k-1)} t [/ matemáticas]
La parte superior superior más pequeña seguiría girando durante el tiempo ‘t’ hasta que falle y k es la relación de la velocidad angular inicial [math] \ omega_i [/ math] de las partes superiores a la velocidad angular de la parte superior más pequeña cuando falla. Tanto [math] \ alpha [/ math] como k son números reales positivos y esto significa que la parte superior más grande giraría más que la parte superior más pequeña. La explicación de la expresión anterior se da a continuación.
Aquí se consideran los criterios para la estabilidad de los tops según una publicación de 1987 de Liu Yanzhu. El criterio de estabilidad para un giro superior en un piso sin fricción es
[matemáticas] n ^ 2> \ frac {4 I_t M ga} {I ^ 2} [/ matemáticas]
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Donde, ‘[matemática] I_t [/ matemática]’ es el momento transversal central de inercia e ‘I’ es el momento axial de inercia. ‘M’ es la masa de la parte superior y ‘a’ es la distancia entre el centro de gravedad de la parte superior y el centro de masa de una esfera virtual formada por la superficie de la parte superior que está en contacto con el piso. [Matemáticas] n = \ omega + \ psi [/ math] donde, [math] \ Omega [/ math] (velocidad de centrifugado a lo largo del eje de simetría) y [math] \ psi [/ math] (tasa de precesión). Ella, para nuestra conveniencia, se supone que [matemáticas] \ Omega [/ matemáticas] >> [matemáticas] \ psi [/ matemáticas] Esta suposición puede ser cuestionada, sin embargo, en aras de la comprensión del sistema y como [matemáticas] \ Omega [/ math] siempre es bastante más grande, sigamos adelante con el supuesto. Para una mejor comprensión, consulte http://ams.cstam.org.cn/EN/abstr…
Entonces, la velocidad de giro angular mínima para la estabilidad de la parte superior es
[matemáticas] \ Omega ^ 2 \ aprox \ frac {4 I_t M ga} {I ^ 2} [/ matemáticas]
Si todas y cada una de las dimensiones de la parte superior se incrementan [math] \ alpha [/ math] veces, la masa y el volumen de la parte superior aumentarían [math] \ alpha ^ 3 [/ math] veces, la superficie de la parte superior aumentaría [math] \ alpha ^ 2 [/ math] veces y el momento de inercia aumentaría [math] \ alpha ^ 5 [/ math] veces.
El criterio de estabilidad para una esfera tan grande es
[matemática] \ Omega_b ^ 2 \ aprox \ frac {4 (\ alpha ^ 5 I_t) (\ alpha ^ 3 M) g (\ alpha a)} {(\ alpha ^ 5 I) ^ 2} [/ matemática]
[matemáticas] \ Omega_b ^ 2 \ aprox \ frac {4 I_t M ga} {\ alpha I ^ 2} [/ matemáticas]
Esto sugiere, [matemáticas] \ Omega_b ^ 2 = \ frac {\ Omega ^ 2} {\ alpha} [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] \ Omega_b = \ frac {\ Omega} {\ sqrt {\ alpha}} \ quad (1) [/ math]
Por lo tanto, la velocidad de centrifugado mínima para la estabilidad de una parte superior más grande es menor que la de una parte superior más pequeña de la misma forma y material.
Ahora, como asumimos que el piso no tiene fricción, la única fuerza resistiva es la resistencia al aire.
Arrastre de aire, [matemática] F_D = \ frac {1} {2} \ rho C_D v ^ 2 A [/ matemática]
Donde, [matemática] C_D [/ matemática] el coeficiente de arrastre, [matemática] \ rho [/ matemática] la densidad del aire, ‘[matemática] v [/ matemática]’ es la velocidad y ‘A’ el área de contacto.
Deje que la altura de la parte superior sea ‘H’ y ‘R’ la distancia entre su eje de giro y la superficie en un punto dado ‘h’ (distancia a lo largo del eje de giro desde el punto inferior de la parte superior). Sea R una función de h.
R = f (h)
El momento de arrastre de aire sobre el eje de giro para una parte superior, girando a una velocidad angular dada [matemática] \ omega [/ matemática] es
[matemáticas] M_D = \ frac {1} {2} \ rho C_D \ int dA (\ omega ^ 2 R ^ 2) R [/ matemáticas]
[matemáticas] M_D = \ frac {1} {2} \ rho C_D \ int_0 ^ H \ int_0 ^ {2 \ pi} (dhd \ theta R) (\ omega ^ 2 R ^ 2) R [/ matemáticas]
El momento de arrastre aéreo para una cima más grande sería
[matemáticas] M_ {D b} = \ frac {1} {2} \ rho C_D \ int_0 ^ {\ alpha H} \ int_0 ^ {2 \ pi} (dh d \ theta R_b) (\ omega ^ 2 R_b ^ 2) R_b [/ matemáticas]
[matemáticas] R_b = \ alpha f (h) = \ alpha R [/ matemáticas]
Esta sugerencia,
[matemática] M_ {Db} [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] \ alpha ^ 5 M_D \ quad (2. a) [/ matemática] para una velocidad angular dada [matemática] \ omega [/ matemáticas]
let [math] M_D = D \ omega ^ 2 [/ math] ya que [math] \ omega [/ math] es la única variable en la ecuación para el momento de arrastre aéreo. Además, [matemáticas] M_ {Db} = \ alpha ^ 5 D \ omega ^ 2 \ quad (2. b) [/ matemáticas]
La duración del tiempo que giraría la parte superior se resuelve aquí. Ignorando la fricción, la única fuerza resistiva es la fuerza de arrastre de aire y, por lo tanto, la ecuación del movimiento de giro de la parte superior se puede simplificar como
[matemáticas] I \ dot {\ omega} = -D \ omega ^ 2 [/ matemáticas]
es decir, [matemáticas] \ frac {d \ omega} {dt} = \ frac {-D} {I} \ omega ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d \ omega} {\ omega ^ 2} = \ frac {-D} {I} dt [/ matemáticas]
Sobre la integración
[matemáticas] \ frac {-1} {\ omega} = \ frac {-D t} {I} + Constante [/ matemáticas]
en t = 0, [math] \ omega [/ math] es el giro inicial [math] \ omega_i [/ math]
Por lo tanto, [matemática] \ frac {-1} {\ omega} = \ frac {-D t} {I} + \ frac {-1} {\ omega_i} [/ math]
[matemáticas] \ frac {1} {\ omega} = \ frac {D t} {I} + \ frac {1} {\ omega_i} \ quad (3) [/ matemáticas]
Dada una velocidad angular inicial de [math] \ omega_i [/ math], se debe calcular la duración del tiempo para alcanzar la velocidad angular estable mínima [math] \ Omega [/ math]. Si [math] \ Omega [/ math] se representa como una fracción del giro inicial, los cálculos serían más fáciles
Deje [math] \ Omega [/ math] = [math] \ frac {\ omega_i} {k} \ quad (4) [/ math]
Luego de la ecuación (3)
[matemáticas] \ frac {k} {\ omega_i} = \ frac {D t} {I} + \ frac {1} {\ omega_i} [/ matemáticas]
es decir, [matemáticas] t = \ frac {(k-1) I} {D \ omega_i} \ quad (5) [/ matemáticas]
Aquí ‘t’ es la duración del tiempo en que la velocidad angular se reduciría de la velocidad angular inicial [math] \ omega_i [/ math] a la velocidad angular mínima para la estabilidad [math] \ Omega. [/ Math]
Para la parte superior más grande, de la ecuación (1)
[matemáticas] \ Omega_b = \ frac {\ Omega} {\ sqrt {\ alpha}} [/ matemáticas]
Por lo tanto, de la ecuación (4), [matemáticas] \ Omega_b = \ frac {\ omega_i} {\ sqrt {\ alpha} k} [/ matemáticas]
Según la ecuación (5), la duración del tiempo en que la velocidad angular se reduciría de [math] \ omega_i [/ math] a [math] \ Omega_b [/ math] es
[matemáticas] t_b = \ frac {(k \ sqrt {\ alpha} -1) I_b} {D_b \ omega_i} [/ matemáticas]
De la ecuación (2) [matemática] D_b = \ alpha ^ 5 D [/ matemática] y ya sabemos que [matemática] I_b = \ alpha ^ 5 I [/ matemática]
Por lo tanto, [math] t_b = \ frac {(k \ sqrt {\ alpha} -1) \ alpha ^ 5 I} {\ alpha ^ 5 D \ omega_i} [/ math]
[matemáticas] t_b = \ frac {(k \ sqrt {\ alpha} -1) I} {D \ omega_i} [/ matemáticas]
Esto sugiere, [matemáticas] t_b = \ frac {(k \ sqrt {\ alpha} -1)} {(k-1)} t [/ matemáticas]
Entonces, la ecuación sugiere que la parte superior más grande giraría más tiempo que la parte superior más pequeña en condiciones ideales cuando se les da la misma velocidad / giro angular inicial. Cabe señalar que el coeficiente de arrastre [matemática] C_D [/ matemática] no es una constante, pero cambia con la velocidad y eso no se tiene en cuenta aquí. Con la inclusión de la fricción y un piso no rígido, los resultados podrían ser diferentes. Cualquier corrección y sugerencia son bienvenidas. A medida que lo desarrollaba en base a los conceptos básicos, solicitaría opiniones de expertos.