Si saco seis dados con cara de [matemáticas] 6 [/ matemáticas], ¿cuál es la probabilidad de que su suma sea igual a [matemáticas] 21 [/ matemáticas]?

Answer 1

Depende de los números en los dados y cuántos de ellos lanzas. Si estás hablando de dados estándar y solo lanzas dos de ellos (como en el juego de dados), entonces la probabilidad es cero.

– Agregado más tarde –

Lo siento, claramente lo interpreté mal como 6 caras y salté directamente sobre los primeros “seis”. Mi error.

Hay 4332 formas de lanzar un 21 con seis dados. El número total de posibles lanzamientos es 6 ^ 6 = 46656. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un 21 es 4332/46656 = 9.28%.

Para descubrir que hay 4332 formas de llegar a un 21, utilicé una hoja de cálculo, que se muestra a continuación, para calcular eso. Las columnas son el número de dados. Las filas son las combinaciones. La primera columna solo enumera la cantidad de formas de llegar de 1 a 6 con 1 dado. Puedes calcular el número de formas para otros dados usando una simple recursión. La fórmula que se muestra en la imagen es para la celda C8 (el caso de cuántas formas de lanzar un 1 con 2 dados, que obviamente es 0). Esa fórmula copiada relativamente a otras celdas llena la tabla.

Answer 2

La simetría ayuda a resolver este problema. Si consideramos solo 3 dados, las posibles soluciones para x1 + x2 + x3 son 3, 4, 5, … 17, 18. Las formas posibles de combinar dos grupos de 3 dados para obtener una suma de 21 son 3 + 18, 4 + 17, 5 + 16, 6 + 15, 7 + 14, 8 + 13, 9 + 12, 10 + 11.
Si f (n) es el número posible de formas en que se pueden sumar 3 dados para obtener n, entonces la solución al problema general es:
(f (3) * f (18) + f (4) * f (17) + f (5) * f (16) +… .. + f (10) * f (11)) * 2

Para obtener f (n), primero considere el problema más fácil que es encontrar el número total de formas en que se pueden combinar 2 dados. Una solución a este problema se puede visualizar como:
que muestra que hay 1 solución para obtener una suma de 2, 2 soluciones para obtener 3, 3 soluciones para obtener 4 y así sucesivamente.
Se puede usar una solución visual similar al problema de los 3 dados que comienza con:
y así.
Por lo tanto
f (3) = 1,
f (4) = 2 + 1 = 3
f (5) = 3 + 2 + 1 = 6
f (6) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
f (7) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15
f (8) = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21
f (9) = 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 25 (solo hay 6 “traducciones”)
f (10) = 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 = 27
f (11) = f (10)
f (12) = f (9)
y así.

Por lo tanto, el número total de formas en que se pueden lanzar 6 dados para que sumen 21 es
(1 * 1 + 3 * 3 + 6 * 6 + 10 * 10 + 15 * 15 + 21 * 21 + 25 * 25 + 27 * 27) * 2 = 4332.

Como el número total de tiradas posibles es 6 ^ 6, la probabilidad es 4332/6 ^ 6

Answer 3

Natalia Nezvanova señaló correctamente que se puede usar la FFT. Desde una perspectiva probabilística, esa es realmente una forma de usar funciones características y el hecho de que si [math] X_i [/ ​​math] es una secuencia de variables aleatorias independientes, entonces
[matemáticas] \ text {CF} (\ sum_ {i = 1} ^ n X_i) = \ mathbb {E} [\ exp (\ text {i} t \ sum_ {i = 1} ^ n X_i)] [/ matemáticas]
[math] = \ mathbb {E} [\ prod_ {i = 1} ^ n \ exp (\ text {i} t X_i)]
= \ prod_ {i = 1} ^ n \ mathbb {E} [\ exp (\ text {i} t X_i)]
[/matemáticas]
Donde el último resultado se desprende de la independencia. Dado que todas las variables aleatorias en este caso tienen la misma función de distribución, cada función característica es idéntica y podemos elevarla a la sexta potencia. Este no es un ejercicio divertido, pero rinde
[matemáticas] \ frac {1} {729} e ^ {21 it} \ left (\ cos \ left (\ frac {t} {2} \ right) + \ cos \ left (\ frac {3 t} {2 } \ right) + \ cos \ left (\ frac {5 t} {2} \ right) \ right) ^ 6 [/ math]
A partir de aquí, puede usar fórmulas de inversión (un caso especial de la Transformada inversa de Fourier, en realidad) para obtener la función de masa de probabilidad para cada valor de la suma. Nuevamente, es un poco de trabajo, pero terminas con (después de dividir la función de una suma de deltas de Dirac a una función definida por partes):
[matemáticas] P (X = x) = \ begin {cases}
\ frac {1} {46656} & x = 6 \ vee x = 36 \\
\ frac {1} {7776} & x = 7 \ vee x = 35 \\
\ frac {7} {15552} & x = 8 \ vee x = 34 \\
\ frac {7} {5832} & x = 9 \ vee x = 33 \\
\ frac {7} {2592} & x = 10 \ vee x = 32 \\
\ frac {7} {1296} & x = 11 \ vee x = 31 \\
\ frac {19} {1944} & x = 12 \ vee x = 30 \\
\ frac {7} {432} & x = 13 \ vee x = 29 \\
\ frac {43} {1728} & x = 14 \ vee x = 28 \\
P_1 (x) y \ text {de lo contrario}
\ end {cases} [/ math]
[matemáticas] P_1 (x) = \ begin {cases}
\ frac {749} {15552} & x = 16 \ vee x = 26 \\
\ frac {119} {1944} & x = 17 \ vee x = 25 \\
\ frac {3431} {46656} & x = 18 \ vee x = 24 \\
\ frac {217} {2592} & x = 19 \ vee x = 23 \\
\ frac {469} {5184} & x = 20 \ vee x = 22 \\
\ frac {361} {3888} & x = 21 \\
\ frac {833} {23328} & x = 15 \ vee x = 27 \\
\ end {casos}
[/matemáticas]
La función anterior se divide en dos partes debido al bajo rendimiento del complemento LaTeX, que se ahoga cuando ingreso todo de una vez.

Obviamente, esto confirma el resultado de Natalia y, con suerte, ayuda a los no iniciados a obtener más información sobre su segundo enfoque 🙂

Answer 4

El número de formas también se puede obtener encontrando el coeficiente de [math] x ^ {21} [/ math] en el siguiente polinomio
[matemática] \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {6} {x ^ {k}} \ right) ^ {6} [/ math]
que se puede reorganizar a
[matemáticas] x ^ {6} (\ sum_ {k = 0} ^ {6} {{6 \ elegir k} (- x) ^ {k}}) (\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {{-6 \ elegir k} (- x) ^ {k}}) [/ math]

Para [matemáticas] x ^ {21} [/ matemáticas] habrá tres términos
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {2} (- 1) ^ {{15-5k}} {6 \ elegir k} {- 6 \ elegir {15-6k}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {20!} {15! 5!} – 6 \ frac {14!} {9! 5!} + 15 \ frac {8!} {3! 5!} = 4332 [/ matemáticas]

probabilidad = 4332/46656