¡Encontré una forma de cuadrar el círculo usando solo una brújula y un borde recto y solo estaba en 0.06 de pulgada cuadrada! ¿Podría ser un error humano de dibujo, medición o redondeo (verificar las áreas)? La estimación de pi calculada fue de 3.1506. ¿Ahora que?

Answer 1

Preámbulo necesario: ¡no quiero decir que esto sea desalentador! – Creo que la exploración siempre es algo bueno.

Sin saber más detalles de lo que hizo, es difícil saber exactamente cuál es su malentendido, pero como todos han señalado, simplemente no es posible crear un cuadrado con área [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] con borde recto y brújula (y comenzando con dos puntos separados por la distancia de 1 unidad) solo. Sería como decir que encontraste una manera de sumar, restar y multiplicar suficientes números enteros para obtener un número entero impar, al menos aproximadamente. Como SABEMOS que sumar, restar y multiplicar números enteros pares siempre produce resultados que también son números enteros pares, y ningún número entero par también es impar, si afirma que de alguna manera puede comenzar con un montón de números enteros pares y, usando solo suma, resta y multiplicación, produce un número entero impar, todos sabrán que debe haber cometido un error sin tener que verificar su trabajo.

Este es realmente el mismo tipo de situación, aunque la parte “agregar restar multiplicar” ahora es un conjunto de operaciones más complicado. Pero todavía hay algunas maneras de generar nuevos puntos a partir de los antiguos usando el borde recto y la brújula, y sabemos con la misma certeza que tenemos al sumar / restar / multiplicar números enteros que, dado un conjunto de puntos con varios distancias entre ellos, cualquier punto nuevo que pueda construir a partir de ellos usando solo el borde recto y la brújula generará distancias a los puntos existentes que son sumas, productos o cocientes de distancias existentes o posiblemente distancias que son las raíces de ecuaciones cuadráticas cuyos coeficientes son tomado de las distancias existentes.

Y sabemos que iterar estos procedimientos nunca puede dar un número para el lado de un cuadrado como [math] \ sqrt {\ pi}, [/ math] que no es algebraico. Todo esto está sólidamente probado. (Aunque es sutil y no fue hasta la década de 1880 que se demostró que [matemática] \ pi [/ matemática] no era algebraica).

Entonces, o su construcción no produce un cuadrado de área [matemática] \ pi [/ matemática], o ha malinterpretado las reglas de la brújula y la construcción de borde recto, o de alguna otra manera ha malinterpretado el objetivo (nuevamente, nadie duda de que puedes construir cuadrados de área MUY MUY cerca de [math] \ pi [/ math], hay muchos números racionales extremadamente cerca de [math] \ sqrt {\ pi} [/ math] y todos son bastante construibles con brújula y derecho, tal vez eso es lo que hiciste).

También tenga en cuenta que “error de medición” no debe entrar en esto, si sus pasos de construcción son claros, deberíamos poder calcular el área exacta de su cuadrado.

De nuevo: ¡no quiero desanimarte! Es genial que estés experimentando con construcciones geométricas. Pero está claro que ha entendido mal el problema o ha cometido un error en su construcción.

Answer 2

Ahhhh, esto me lleva de vuelta. Al enterarme de la imposibilidad de trisecar un ángulo arbitrario con brújula y regla, me puse a trabajar. Había “tenido éxito” en hacerlo, tal vez tres o cuatro formas diferentes.

Como otros han mencionado, no cuadraste el círculo. Aproximadamente cuadraste el círculo. Cuadrar el círculo (con regla y brújula) es probablemente imposible. Es decir, no es solo que lo intentamos y lo intentamos y fallamos tanto que nos rendimos y concluimos que era imposible.

En cambio, probamos que construir un cuadrado así requiere construir una longitud con una propiedad algebraica particular, y probamos que tales longitudes no pueden obtenerse simplemente con una regla y una brújula.

Otras personas han dicho eso. Entonces, ¿por qué me molesto en escribir? No solo para aumentar, sino para alentarte. Es genial que vayas por caminos como este. Ya sea que se convierta en matemático o en otra cosa, este tipo de actitud le servirá bien. Solo … no te vayas demasiado por la borda. 🙂

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EDITAR: pensé que intentaría al menos esbozar por qué es imposible cuadrar un círculo. Cada vez que escuchaba sobre trisecar un ángulo o cuadrar un círculo, escuchaba a la gente hablar en voz baja: “… pero para demostrarlo, necesitas herramientas sofisticadas de las matemáticas modernas, como la teoría de Galois …” En la escuela secundaria, siempre estar un poco desanimado por eso, ¡porque quería saber por qué esas cosas eran imposibles! ¡Tenía esta sensación de derecho, que si pudiera entender una declaración, debería poder entender su prueba!

Claro, para demostrarlo se requieren técnicas modernas. Eso puede ser cierto, pero no cuenta toda la historia. Para obtener la esencia de eso no lo hace. Entonces, si no te importa pasar por alto algunos tecnicismos, intentaré darte una idea general.

Solo para establecer el problema, nuestro objetivo aquí es que alguien nos entregue un círculo de un radio conocido, por ejemplo, radio 1. Vamos a construir un cuadrado de igual área. Eso equivale a construir un segmento de línea de longitud [math] \ sqrt {\ pi} [/ math].

Como dato de fondo, voy a decir sin pruebas de que [math] \ pi [/ math] es trascendental. Eso significa que no hay polinomios con coeficientes racionales para los cuales [math] \ pi [/ math] sea una raíz . (Obviamente, [math] \ pi [/ math] es la raíz de un polinomio como [math] x ^ 2- \ pi ^ 2 = 0 [/ math], pero esos coeficientes no son racionales).

La estrategia, entonces, es comprender que la longitud de cualquier segmento de línea que puede construir es, de hecho, algebraica . Es decir, la longitud es una raíz de algún polinomio con coeficientes racionales. De hecho, más es cierto: podemos decir algo sobre el grado de ese polinomio, pero lo guardaré para más adelante.

Entonces, te entregan un círculo con radio 1. ¿Qué longitudes son inmediatamente construibles a partir de eso? Bueno, obviamente puedes obtener cualquier número entero positivo al doblar, triplicar, etc. No entraré en todos los detalles (… tu libro de geometría podría …), pero si tienes longitudes [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas ] b [/ math], resulta que puedes hacer aritmética: puedes construir (entre otras cosas), un segmento de longitud [math] a + b [/ math], [math] ab [/ math] (suponiendo [math ] a> b [/ matemáticas], por supuesto), [matemáticas] ab [/ matemáticas], [matemáticas] a / b [/ matemáticas]. Si no conoce esas construcciones, puede ser divertido aprenderlas o resolverlas.

Entonces, si alguien le entrega un segmento de longitud 1, utilizando estas construcciones, puede construir un segmento cuya longitud sea cualquier número racional.

¡Pero más es verdad! Después de todo, podemos construir [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática] con bastante facilidad: es solo la diagonal de un triángulo rectángulo isósceles que tiene una longitud lateral 1. Y [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática] es irracional . Entonces, ¿qué podemos construir?

Piense ahora en términos de un plano de coordenadas : ya podemos obtener todos los puntos con coordenadas racionales. Si nuestros “movimientos legales” involucran bordes rectos y brújulas, eso significa que podemos dibujar líneas y círculos, que son polinomios de grado 1 o 2.

Además, el primer círculo que dibujemos corresponderá a un polinomio que tiene coeficientes racionales. Llame a ese círculo [matemáticas] C_1 [/ matemáticas]. Digamos que a través de otros pasos encontramos un punto [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] en ese círculo. No siempre es cierto que [math] P_1 [/ math] tenga coeficientes racionales. Pero los coeficientes no pueden ser demasiado exóticos. Como es la intersección de una línea y un círculo (recuerde, hasta ahora solo hemos dibujado un círculo), tendrá coordenadas de la forma [matemáticas] a + \ sqrt {b} [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] racionales a [/ math] y [math] b [/ math]. ¿Por qué? La fórmula cuadrática.

Bien, entonces obtenemos este nuevo punto [matemática] P_1 [/ matemática], posiblemente con coeficientes irracionales. Ahora podemos usar eso como centro para los círculos. ¿Cómo serán estos polinomios? No necesariamente tendrán solo coeficientes racionales, porque ahora potencialmente tenemos números de la forma [math] a + \ sqrt {b} [/ math]. Entonces, los números de esa forma podrían ser coeficientes ahora.

Esto continúa: Digamos que dibujamos un nuevo círculo, [matemática] C_2 [/ matemática], cuyos coeficientes son de la forma “nueva” que obtuvimos del primer círculo. Deje que [math] P_2 [/ math] sea un punto en ese círculo que obtenemos de algún tipo de intersección con [math] C_1 [/ math] o alguna línea u otra. Las coordenadas de [math] P_2 [/ math] tendrán la forma [math] a_1 + \ sqrt {b_1} [/ math], donde cada una de [math] a_1 [/ math] y [math] b_1 [/ math ] eran de la forma [math] a + \ sqrt {b} [/ math], con [math] a, b [/ math] racional. ¿Por qué? Fórmula cuadrática nuevamente, excepto esta vez por los coeficientes “mejorados” que vinieron de dibujar el primer círculo: los [matemáticos] a_1 [/ matemáticos] y [matemáticos] b_1 [/ matemáticos].

Esto sigue y sigue: cada vez que dibujamos un círculo, obtenemos una nueva capa de radicales anidados. Después de dibujar finitamente muchos círculos y / o líneas y hacer finitas intersecciones, puede ver ahora por qué obtenemos un punto cuyas coordenadas son algebraicas: comienza con un número racional y aplica capas en finitas ecuaciones cuadráticas para resolver.

Aunque hay más que decir (y muchos tecnicismos que he pasado por alto), tal vez en este punto vea por qué no puede construir [math] \ sqrt {\ pi} [/ math]. No es la raíz de un polinomio. Si solo está interesado en cuadrar el círculo, puede detenerse ahora.

¿Pero qué hay de duplicar el cubo? Eso se reduce a construir un segmento de longitud [math] \ sqrt [3] {2} [/ math]. Eso es algebraico: es una raíz de [matemáticas] x ^ 3 – 2 = 0 [/ matemáticas]. Pero, como se prometió, aquí hay algo más:

Regrese a esos radicales anidados. Cada vez que dibujamos una línea o un círculo. (En este punto, deténgase un poco y convénzase de que las líneas que se cruzan no le brindan ninguna profundidad algebraica adicional. Los círculos están donde están). Pero si solo estamos usando círculos, entonces nuestra profundidad algebraica siempre involucra raíces cuadradas anidadas , porque solo estamos usando la fórmula cuadrática una y otra vez.

Y no puede escribir [math] \ sqrt [3] {2} [/ math] usando raíces cuadradas anidadas.

Triseccionar un ángulo sigue una línea de argumento similar, pero dejaré esos detalles para que los explore por su cuenta.

Para estar seguro, he pasado por alto mucho. Y en caso de que tenga curiosidad, lo contrario de lo que dije no es cierto: no necesariamente puede construir cualquier longitud que pueda expresarse como una serie anidada de raíces cuadradas. Pero demostrar eso implica desarrollar más maquinaria técnica.

¡Espero que eso te dé algo de reflexión!

Answer 3

Cada persona parece ser una autoridad sobre cuál era el problema original. También parecen pensar que para resolver el problema, debe conocer la longitud del lado o poder construir un segmento de línea de longitud √π. Si bien entiendo el deseo de perfección porque las matemáticas son una ciencia exacta, el dibujo y el dibujo no lo son. cada segmento de línea y cada círculo construido está desactivado en una pequeña cantidad, y los más “pasos finitos” involucrados en la construcción aumentarán la cantidad de desviación [de la exactitud]. Dicho esto, importa por qué se construirá este cuadrado. Si, por ejemplo, me estaba haciendo esta pregunta como parte de una prueba básica de geometría (examen), entonces dar una respuesta muy cercana aún puede obtener una A en el examen. Si, en cambio, un fabricante quisiera cambiar su empaque cilíndrico a un prisma rectangular de fondo cuadrado, y el nuevo contenedor con forma de [prisma rectangular] tuviera que tener la misma altura que el contenedor cilíndrico anterior, nuevamente podría estar bien para redactar algunos dibujos usando un método “lo suficientemente cerca”.

El hecho de que pi sea trascendental TAMBIÉN significa que no tenemos una forma precisa de escribir el área de CUALQUIER círculo, sin dejarlo en términos de pi, esto no impide que los pintores o las capas de alfombras sepan cuánto material tendrán necesitan un trabajo, solo significa que usan redondeo o estimación para obtener una respuesta lo suficientemente cercana. Si estuviéramos midiendo en $, a menos que fuera una estación de servicio, un banco o un prestamista que cobrara intereses, las fracciones de un centavo no me preocuparían. Incluso la NASA solo usa Pi con quince decimales al hacer los cálculos: ¿Cuántos decimales de Pi realmente necesitamos? – Edu Noticias | NASA / JPL Edu

La razón del radio del círculo a la diagonal del cuadrado es ≈ 2: 5; y nunca necesitas medir el lado. Como se dijo, esto no es noticia.

Answer 4

No cuadraste el círculo.

Usted aproximó cuadrar el círculo.

Eso no es malo, pero no es noticia y no es particularmente emocionante.

Si puede encontrar un método para cuadrar con precisión el círculo, eso sería un shock sísmico masivo para las matemáticas.

Pero encontrar un método para hacerlo con cierto nivel de precisión que no sea absoluto no lo es.

Esto sería similar a decir que has calculado el valor exacto de pi, pero resulta que simplemente te acercaste vagamente.

Un número cercano a pi es útil en el mundo real, donde usualmente podemos pasar con cálculos que son “lo suficientemente cercanos”. Pero eso no significa que tengan toda la razón … hemos realizado cálculos precisos para los millones de decimales, pero tampoco son exactamente correctos.

(Tenga en cuenta que no estoy suponiendo que haya fallado porque sé algo sobre el método que utilizó. Está dentro del ámbito de la imaginación que puede haber encontrado un nuevo método para hacer cosas, como cuando se inventó el cálculo, que le permite haz algo que nadie creía posible. Supongo que fallaste porque, según tus propios cálculos, estabas fuera del resultado real, y tu estimación calculada de pi también estaba apagada. Las respuestas cercanas son posibles con nuestros métodos actuales, y tus respuestas son simplemente cerca)

Answer 5

La respuesta simple es que si revisó su trabajo y descubrió que estaba fuera de cualquier cantidad, incluso por una pequeña cantidad como 0.0000001 pulgada cuadrada, NO cuadró el círculo.

Debe recordar que la regla de 12 pulgadas en su mochila NO cuenta como un “borde recto”. Lo único que cuenta como un borde recto es un “borde recto” SIN MARCAS.

E incluso si su brújula tiene escalas para ayudarlo a decidir de qué tamaño dibujará un círculo, no puede usar esa escala mientras resuelve este problema.

Entonces, con eso en mente, podrías

1. Usa tu brújula para dibujar un círculo que tenga un radio de una unidad.
2. Marque esa unidad de distancia en línea recta
3. Use métodos que ya haya aprendido para dividir una línea.

1. Esto le permite marcar distancias iguales a media unidad,
2. luego repita para marcar longitudes de un cuarto y tres cuartos,
3. entonces uno, tres, cinco y siete octavos,
4. luego sigue y sigue y sigue.
5. Su línea marcada obtendrá marcas cada vez más cercanas.
6. Cada marca tendrá un valor fraccional de unidades igual a [math] \ frac {n} {2 ^ {x}} [/ math] donde:

1. El numerador, n, es un número entero, cualquier número positivo.
2. El denominador es [matemática] 2 ^ {x} [/ matemática] ( x = cualquier entero positivo)
3. Esta fracción es una relación entre dos enteros.

Mientras tanto, para “cuadrar el círculo”, debe usar su “borde recto” cada vez más preciso para medir el lado del cuadrado que tendrá la misma área que el círculo.

1. El círculo tiene el área π
2. Por lo tanto, su cuadrado debe tener lados que sean iguales a un número que no solo sea irracional, sino que sea trascendental. Esto significa que no solo es el número uno que no se puede escribir como una relación entre dos enteros, es un número que no es la solución a una ecuación polinómica con coeficientes enteros.

Mientras tanto, estás en GRAN compañía. Muchos estudiantes de matemáticas, incluidos algunos de sus maestros de matemáticas para decir la verdad, han pasado por etapas en las que estaban seguros de poder cuadrar el círculo. Uno de esos expertos intentó que su método de cuadrar el círculo se escribiera en la ley estatal de Indiana, pero una lectura cuidadosa de su prueba mostró que en realidad usó varios valores diferentes para π mientras demostraba su punto. (El congreso de Indiana fue lo suficientemente inteligente como para NUNCA llevar ese proyecto de ley a votación).

Answer 6

Mucha gente ya ha explicado por qué un círculo no puede ser cuadrado. Presentaré un “método” que explica cómo puede acercarse lo más posible a la cuadratura del círculo pero no tener éxito.

1. Vaya a Wolfram Alpha y conecte 2 ^ n * (pi) ^ 0.5 para un n grande. Cuanto más grande, más preciso.
2. Redondea tu resultado al entero más cercano. Llamémoslo M.
3. Dibuja tu círculo.
4. Dibuja el diámetro del círculo.
5. Bisecta el diámetro del círculo y deja que el radio tenga una longitud r.
6. Construya un segmento de línea que tenga M * r unidades de largo.
7. Biseca este segmento de línea n veces.
8. Construya un cuadrado con el segmento de línea de longitud M / 2 ^ n.
9. Esta plaza tendrá un área extremadamente cercana a pi.

Ejemplo: utilicé n = 20 y obtuve pi = 3.141594.

La razón por la que esto funciona es porque construir la raíz cuadrada de pi como una longitud es imposible con la brújula y la regla, mientras que una aproximación cercana se puede hacer fácilmente.

Answer 7

Por supuesto, no has cuadrado el círculo, porque hacerlo con precisión es imposible. Sin embargo, una cosa interesante de hacerlo aproximadamente, como lo ha estado haciendo, es que no solo puede hacerlo con una precisión de 0.06 de pulgada cuadrada, sino que puede hacerlo con cualquier precisión arbitraria. Incluso una billonésima parte de una billonésima de pulgada. No es difícil encontrar un método que lo haga tampoco. Solo necesita una calculadora para calcular [math] \ sqrt {\ pi} [/ math] dentro de una billonésima parte de una billonésima parte. Y luego piensa en cómo construirías ese número con una regla y una brújula.

Answer 8

Cuadrar el círculo es imposible. Pero es posible aproximadamente cuadrar el círculo y siempre existieron soluciones aproximadas al problema desde la antigüedad griega en adelante.

Entonces, lo que afirmas haber hecho es haber encontrado una solución aproximada al problema de cuadrar el círculo.

Eso es genial. Los científicos siempre intentan encontrar más de una solución a un problema y más de una técnica de aproximación a un cálculo.

Entonces, si lo desea, continúe y comparta su descubrimiento. Incluso si nadie quiere publicar su trabajo, siempre puede auto-publicar, por ejemplo, creando un blog.

Pero no le digas a la gente que cuadraste el círculo. Dígales que aproximadamente cuadró el círculo, de lo contrario, no entenderán lo que quiere decir.

Answer 9

En una construcción de brújula y regla, no hay mediciones que puedan ser erróneas. No hay medidas Para construir una regla, puede tomar una regla que tenga marcas de medición y borrarlas por completo. Eso es una regla. Si está midiendo algo, eso va más allá de la brújula y la regla.

Tampoco hay errores de dibujo humanos en una construcción de brújula y regla.

Si le gustan las matemáticas, en lugar de intentar probar cosas posibles que ya se han demostrado imposibles, intente probar algo que se haya demostrado que es posible (leyendo la prueba de otra persona). Eso será mucho más informativo.

Answer 10

Supongo que entendiste mal el problema matemático de cuadrar un círculo con solo una brújula y un borde recto. El problema aquí no es hacerlo físicamente, sino tener una prueba matemática de que se puede hacer con perfecta precisión. Una prueba matemática es un proceso de pensamiento, no un ejercicio físico. Por lo tanto, la brújula y el borde recto son conceptos abstractos, no objetos reales.

http://www.math.wustl.edu/~sk/eo …

Answer 11

¡Felicidades!

Que no hayas hecho exactamente lo que creías haber hecho es irrelevante. La frase más importante en la ciencia no es “eureka” sino “eso es extraño …”.

Lo que debe hacer es seguir experimentando, descubrir lo que realmente ha encontrado. La geometría no está tan bien mapeada como todo eso, hay pocos geómetras serios entre Hypatia y Coxeter (Riemann y Poincare son los únicos dos notables), pero el flujo interminable de descubrimientos de Coxeter de fantástica importancia muestra que quedan descubrimientos. Muchos descubrimientos

No implicará cuadrar círculos euclidianos, puede que no implique cuadrados o círculos en ningún espacio, pero podría hacerlo. Tiene una excelente oportunidad de encontrar algo nuevo y lo único de lo que podemos estar seguros es que no es algo nuevo imposible. Eso es mucho espacio.

Answer 12

La cuadratura del círculo se ha demostrado formalmente que es imposible con una regla y un borde recto, así que no, no se te ha ocurrido un método legítimo para cuadrar el círculo.

La prueba surge bastante bien cuando se estudian algunos de los requisitos de la teoría de Galois, a saber, extensiones de campo / torres de campos.

Answer 13

Cuidado ahora … la última vez que alguien afirmó que había cuadrado el círculo, casi lograron aprobar esta ridícula ley en la ley estatal:

Indiana Pi Bill – Wikipedia

La versión TL; DR es que casi legalmente cambiaron el valor de pi a 3. Solo para el estado de Indiana.

Answer 14

No has resuelto el problema original. Desde el siglo XIX se sabe que este problema no tiene solución con una regla y una brújula.

Answer 15

Si se deshace de ese molesto 0,06 de un área de pulgada cuadrada para que el cuadrado sea exactamente del mismo tamaño que un círculo, habrá revolucionado las matemáticas. Cuadrar el círculo significa obtener un cuadrado que sea exactamente la misma área que un círculo.

Answer 16

Por favor, muestre su solución a un matemático real. Lo mirará, buscará soluciones comparables en Google y luego dará su opinión.

De lo contrario, sabrá a qué otros matemáticos u organizaciones solicitar una revisión.

Answer 17

El error con el que terminó fue probablemente una combinación de error de dibujo humano y su método es una aproximación.

Podría intentar usar las matemáticas para averiguar si realmente ha cuadrado el círculo calculando matemáticamente los resultados que obtendría, ya que al hacerlo estaría esencialmente eliminando todo error humano. Si obtienes una respuesta perfectamente correcta, ¡has cuadrado el círculo!

Answer 18

No soy como la mejor persona en matemáticas, pero lo que puedo decirte es:

valor real pi: 3.1415926 ………………….

su valor: 3.1506

Esa es una gran diferencia (al menos cuando estás haciendo algo como esto).

Nuevamente, no soy profesor de matemáticas, así que si me equivoco, dilo en los comentarios.

Answer 19

Si está “apagado”, no es una violación. Es perfectamente posible aproximar estas cosas; simplemente no es posible hacerlos exactamente. ¡Disfruta tus construcciones!

Answer 20

¡Ajá! Antes de responder realmente a su pregunta, permítame decirle que Ramanujam también hizo una vez algo similar a esto, pero fue mucho, mucho más preciso, demostró que si alguien construía un círculo con un área de 1,40,000 millas cuadradas, existiría un cuadrado de la misma área, con los lados del cuadrado separados, solo por 1 pulgada.
Para poner las cosas en perspectiva, 140,000 es más que el área de superficie de Inglaterra, en comparación, ¿qué es una pulgada?
Y la respuesta es no, solo se considera una solución, en este caso, si las áreas son perfectamente iguales.