Sé que 24 y 60 tienen respectivamente 8 y 12 divisores. ¿Cómo sé cuántos divisores tiene su producto 24 × 60 = 1440?

Answer 1

Encontremos la factorización prima de [math] 24 [/ math] y [math] 60 [/ math]:

[matemáticas] 24 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3 = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] 60 = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 5 = 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {1} \ cdot 5 ^ {1} [/ matemáticas]

¿Cómo podemos saber cuántos divisores tiene un número? Bueno, cada uno de esos divisores también tendrá una factorización prima única. Todos los divisores de [math] 24 [/ math] se pueden escribir en la forma:

[matemáticas] d = 2 ^ {a} \ cdot 3 ^ {b} [/ matemáticas]

Hay [matemática] 4 [/ matemática] valores posibles de [matemática] a [/ matemática] ([matemática] 0 [/ matemática], [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] 2 [/ matemática] o [ matemática] 3 [/ matemática]) y [matemática] 2 [/ matemática] valores posibles de [matemática] b [/ matemática] ([matemática] 0 [/ matemática] o [matemática] 1 [/ matemática]). El número de combinaciones es [matemáticas] 8 [/ matemáticas], porque [matemáticas] 4 \ cdot 2 = 8. [/ Matemáticas]

En general, el número de divisores de [math] n [/ math] (número de combinaciones posibles) viene dado por el producto de los sucesores de los exponentes de la factorización prima de [math] n [/ math] .

Entonces el número de divisores de [math] 60 [/ math] es [math] (2 + 1) \ cdot (1 + 1) \ cdot (1 + 1) = 3 \ cdot 2 \ cdot 2 = 12. [/ matemáticas]

Vamos por [matemáticas] 1440 [/ matemáticas]:

[matemáticas] 1440 = 24 \ cdot 60 = \ left (2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {1} \ right) \ cdot \ left (2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {1} \ cdot 5 ^ { 1} \ right) [/ math]

[matemáticas] 1440 = 2 ^ {(3 + 2)} \ cdot 3 ^ {(1 + 1)} \ cdot 5 ^ {1} = 2 ^ {5} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ { 1} [/ matemáticas]

Entonces, el número de divisores de [math] 1440 [/ math] es (5 + 1) [math] \ cdot (2 + 1) \ cdot (1 + 1) = 6 \ cdot 3 \ cdot 2 = 36. [/ matemáticas]

Answer 2

Probablemente la forma más fácil de hacerlo es factorizar número [matemáticas] 24 * 60: [/ matemáticas] [matemáticas] 24 * 60 = (2 ^ 3 * 3) * (2 ^ 2 * 3 * 5) = 2 ^ 5 * 3 ^ 2 * 5. [/ Matemáticas]

Este número tiene [matemática] (5 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = 36 [/ matemática] divisores.

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Pero parece que estás buscando una solución más complicada. Bueno, creo que no podemos resolver el problema solo usando números [matemáticas] 8 [/ matemáticas] y [matemáticas] 12 [/ matemáticas]. Por ejemplo, el número [matemático] 2 ^ 5 * 3 = 120 [/ matemático] también tiene [matemático] 12 [/ matemático] divisores, pero el producto [matemático] 24 * 120 = 2 ^ 8 * 3 ^ 2 [/ matemático ] tiene [matemáticas] (8 + 1) (2 + 1) = 9 * 3 = 27 [/ matemáticas] divisores.

Sin embargo, si los números [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] tienen divisores [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] respectivamente y [matemática] mcd (a, b ) = 1 [/ math] entonces su producto [math] A * B [/ math] tiene exactamente [math] ab [/ math] divisores. Por ejemplo, el número [matemática] 24 = 2 ^ 3 * 3 [/ matemática] tiene 8 divisores, el número [matemática] 5 ^ {11} = 48828125 [/ matemática] tiene [matemática] 12 [/ matemática] divisores, [matemática ] mcd (24,5 ^ {11}) = 1 [/ matemática], por eso el número [matemática] 24 * 5 ^ {11} [/ matemática] tiene [matemática] 8 * 12 = 96 [/ matemática] divisores.

Así que no creo que exista una fórmula para el caso general, pero si los números dados son coprimos, el problema es trivial.

Answer 3

[matemáticas] 24 = (2 ^ {3}) (3 ^ {1}) [/ matemáticas] y [matemáticas] 60 = (2 ^ {2}) (3 ^ {1}) (5 ^ {1}) [/matemáticas]

Entonces [matemáticas] 24 * 60 = 1440 = (2 ^ {5}) (3 ^ {2}) (5 ^ {1}) [/ matemáticas]. Agregue uno a los exponentes y multiplíquelos: [matemáticas] (5 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = (6) (3) (2) = 36 [/ matemáticas]