Si tengo una aplicación que muestra una imagen aleatoria de 10, ¿con qué frecuencia debo iniciar la aplicación, en promedio, para ver las 10 imágenes?

Alrededor de 30 veces.

Este es un ejemplo del problema del colector de cupones.

Dados n cupones, ¿cuántos cupones espera que necesite sacar con reemplazo antes de haber dibujado cada cupón al menos una vez?

Para cupones [math] n [/ math], la respuesta es

[matemáticas] n. H_n [/ math] donde [math] H_n [/ math] denota [math] \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ dfrac {1} {i} [/ math]

Por lo tanto, para nuestro caso, es [matemáticas] 10 \ veces 2.92896825397 \ aproximadamente 29.28 \ aproximadamente 30 [/ matemáticas]

Puede usar la siguiente simulación (escrita en Python) para verificar la respuesta.

def experiment():
count = 0
L = [False]*10
while not all(L):
L[randrange(10)] = True
count += 1
return count total = 0
for x in range(1000000): total += experiment() float(total)/1000000
#Output: 29.293737

def experiment():
count = 0
L = [False]*10
while not all(L):
L[randrange(10)] = True
count += 1
return count total = 0
for x in range(1000000): total += experiment() float(total)/1000000
#Output: 29.293737

def experiment():
count = 0
L = [False]*10
while not all(L):
L[randrange(10)] = True
count += 1
return count total = 0
for x in range(1000000): total += experiment() float(total)/1000000
#Output: 29.293737

Me gustaría proporcionar una derivación adicional para la excelente respuesta de Joshi.

Obviamente, al iniciar la aplicación, obtienes una imagen. En la segunda prueba, tiene una probabilidad de 9/10 de seleccionar una imagen, que es diferente a la primera. Después de haber obtenido 2 imágenes diferentes, la probabilidad de seleccionar una tercera imagen diferente es 8/10, y así sucesivamente.

Ahora, volvamos a la segunda prueba donde tiene una probabilidad de 9/10 de seleccionar una imagen diferente. El número esperado de ensayos necesarios para obtener una de las diferentes imágenes puede considerarse como 1 sobre la expectativa de una variable aleatoria de Bernoulli, donde [matemáticas] E [x] = p [/ matemáticas]. Por lo tanto, para la segunda prueba, el número esperado de pruebas necesarias para obtener la segunda imagen diferente es 1 / (9/10). Para la tercera imagen, el número esperado es 1 / (8/10). Para la primera prueba, fue 1 / (10/10).

Por lo tanto, el número esperado para todo el experimento es
[matemáticas] \ frac {1} {\ frac {10} {10}} + \ frac {1} {\ frac {9} {10}} +… + \ frac {1} {\ frac {1} {10 }}[/matemáticas].

Después de factorizar el 10 (n), tenemos
[matemáticas] \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} +… + \ frac {1} {10} = {\ sum_ {i = 1} ^ {10} \ frac {1} { i}} [/ matemáticas],

que es la serie armónica [matemáticas] H_ {n} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el número total de ensayos esperados para todo el experimento es [matemáticas] n \ cdot H_ {n} [/ matemáticas]