¿Habría alguna diferencia horaria entre los relojes de la Tierra y el reloj de la sonda espacial New Horizon?

Sí, tal como hay con el GPS. Pero también pequeño y presumiblemente permitido.

La relatividad especial dice que el tiempo se ralentiza cuando viajas rápido. Entonces el tiempo en la Tierra sería fraccionalmente más rápido.

La relatividad general dice que el tiempo se ralentiza cuando estás en un campo gravitacional. Entonces el tiempo en la Tierra sería fraccionalmente más lento.

Para GPS:

Tres efectos relativistas son la dilatación del tiempo, el cambio de frecuencia gravitacional y los efectos de excentricidad. Los ejemplos incluyen la desaceleración del tiempo relativista debido a la velocidad del satélite de aproximadamente 1 parte en 1010, la dilatación del tiempo gravitacional que hace que un satélite funcione aproximadamente 5 partes en 1010 más rápido que un reloj basado en la Tierra, y el efecto Sagnac debido a la rotación relativa a receptores en la Tierra.
Análisis de errores para el sistema de posicionamiento global

Para New Horizon, supongo que el segundo efecto es más significativo. Pero tampoco importa mucho, excepto el GPS, donde el tiempo exacto lo es todo.

El 13/08/2012 a las 6:11 AM, el abuelo dijo:

la velocidad de escape de la superficie terrestre es de 11.2 km / s

El factor lorentz para 11.2 km / s es 1.000000000698

por lo tanto, un reloj en la superficie terrestre marca 1,000,000,000,698 veces mientras que un reloj en el espacio profundo solo marca 1,000,000,000,000 veces

un satélite en órbita terrestre muy baja tiene una velocidad de 11.2 / sqrt [2] km / s = 7.92 km / s

El factor lorentz para 7.92 km / s es 1.000000000349

Lo que significa un cambio de frecuencia fraccional de 3.49 x 10 ^ -10. Ahora multiplique por 86400 y obtendrá 30 microsegundos. Así de lejos estaría ese satélite. Pero los satélites GPS no están en LEO. Están a medio camino de geosíncronos (a una altitud de ~ 20,000 km) y la dilatación cinemática es de aproximadamente 7 microsegundos. El término gravitacional es de aproximadamente 45 microsegundos / día rápido.