Si tengo 3 símbolos, ¿cuántas permutaciones puedo hacer para formar una cadena de 3 símbolos? ¿Qué tal 4?

Answer 1

Con su ejemplo de 3 letras, hay [matemáticas] 3 [/ matemáticas] formas de tener una letra, [matemáticas] 3 \ veces 2 [/ matemáticas] formas de tener 2 letras y [matemáticas] 3 \ veces 2 \ veces 1 [/ matemáticas] formas de tener 3 letras. Si ampliamos a 4 letras, tiene [matemáticas] 4 [/ matemáticas] formas de tener 1 letra, [matemáticas] 4 \ veces 3 [/ matemáticas] formas de tener 2 letras, [matemáticas] 4 \ veces 3 \ veces 2 [/ math] formas de tener 3 letras, y [math] 4 \ times 3 \ times 2 \ times1 [/ math] formas de tener 4 letras.

Puede notar aquí que para cada término que estamos contando en las 4 letras (excepto la primera) hay un término correspondiente para 3 letras que no tiene un 4. Si llamamos al número de arreglos de [matemáticas] n [ / math] caracteres sin repetición [math] r_n [/ math], vemos que [math] r_4 = 4r_3 + 4 [/ math]. De hecho, no es difícil ver que [math] r_n = nr_ {n-1} + n [/ math].

Usando esta recurrencia y comenzando desde [matemática] r_1 = 1 [/ matemática], podemos ver rápidamente que [matemática] r_2 = 2r_1 + 2 = 4 [/ matemática], [matemática] r_3 = 3r_2 + 3 = 15 [/ matemática ], [matemáticas] r_4 = 4r_3 + 4 = 64 [/ matemáticas] y [matemáticas] r_5 = 5r_4 + 5 = 325 [/ matemáticas]. Esto le permite resolver pequeñas [matemáticas] n [/ matemáticas] con bastante rapidez.

Traté de encontrar un buen formulario cerrado para esta recurrencia, pero no pude encontrar uno, así que busqué en línea. Al poner esta secuencia (1 4 15 64 325) en The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®), puede encontrar la entrada A007526 – OEIS. Desplazándose un poco hacia abajo, verá algunas buenas fórmulas. El que realmente me gusta es [matemáticas] \ lfloor e \ cdot n! – 1 \ rpiso [/ matemática]. Esto realmente no lo ayudará a calcular valores exactos para grandes [matemáticas] n [/ matemáticas], pero al menos le dará una buena idea de la magnitud. Las otras fórmulas son solo sumas, por lo que realmente no le dan nada mejor que la recurrencia.