¿Qué implicaría si el lagrangiano depende de la aceleración?

Answer 1

Esto se discute en Physics Stack Exchange aquí.

El autor señala que podría tener términos como [math] \ dot {q} \ ddot {q} [/ math] que son derivados del tiempo total. Dichos términos no contribuirían en nada a la dinámica del sistema. Entonces, por ejemplo, [math] L ‘= \ frac {1} {2} m \ dot {q} ^ 2 + \ dot {q} \ ddot {q} [/ math] proporciona la misma dinámica que [math] L = \ frac {1} {2} m \ dot {q} ^ 2 [/ math], aunque contiene una segunda derivada.

Si el lagrangiano depende de la segunda derivada de una manera “esencial”, es de esperar que termine obteniendo ecuaciones de movimiento de tercer orden. Sin embargo, de hecho, un término de la forma [matemática] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t ^ 2} \ frac {\ partial L} {\ partial \ ddot {q}} [/ math ] sería de cuarto orden. Ahora hay cuatro coordenadas canónicas, pero el lagrangiano solo depende de tres coordenadas ([matemáticas] q, \ dot {q}, \ ddot {q} [/ matemáticas]). Esto conduce a lo que se llama la inestabilidad de Ostrogradsky, en la que obtienes un Hamiltoniano que es lineal en una de las coordenadas canónicas y, por lo tanto, no está limitado desde abajo, lo que se considera no físico.

No puedo explicar esto con más detalle ya que este es uno de mis puntos débiles, pero puedes explorar los enlaces en Stack Exchange.

Answer 2

Implicaría que la ecuación de movimiento lagrangiana será,

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} (\ frac {\ partial L} {\ partial \ ddot {q} _i}) – \ frac {d} {dt} (\ frac {\ parcial L} {\ partial \ dot {q} _i}) + \ frac {\ partial L} {\ partial q_i} = 0 [/ matemática]

Otras implicaciones se derivan de esta ecuación.

Answer 3

Parte de la definición del lagrangiano es que depende solo de las coordenadas de posición, sus derivadas de tiempo y posiblemente también explícitamente del tiempo. El efecto de esto es que las fuerzas son locales en el tiempo ; en otras palabras, el estado de movimiento de una partícula (su posición y velocidad) cambia ahora en función de las fuerzas que se ejercen sobre la partícula ahora.

Dos partículas con las mismas posiciones y velocidades bajo la influencia de la misma fuerza deben comportarse de la misma manera. Si las fuerzas no fueran locales a tiempo, entonces esas dos partículas podrían comportarse de manera diferente en función de las fuerzas ejercidas sobre una de ellas ayer, o en algún momento de la semana pasada. Aunque uno podría imaginar un universo extraño en el que este podría ser el caso, ciertamente no parece estar en el nuestro.