Bueno, depende de usted determinar qué propiedades tendrán, hasta ahora, ha especificado un conjunto, pero no ha definido ningún tipo de suma, multiplicación o topología, por lo que no hay mucho que pueda decir definitivamente sobre cómo se comportan estas cosas.
Supongo que desea que la suma y la multiplicación funcionen como lo hacen con los enteros regulares. Por ejemplo, para agregar, debe sumar dígitos con alguna forma de transporte si el resultado es mayor que 9. Aquí ya se encuentra con un problema: ¿qué es [math] \ ldots 9999999 + 1 [/ math]?
Bueno, según la regla especificada anteriormente, ¡debe ser 0! Lo que plantea la pregunta: ¿es [math] \ ldots 9999999 = -1 [/ math]?
Si no es así, la suma de números infinitos no es asociativa, ya que [matemática] (\ ldots 9999999 + 1) + -1 = 0 + -1 = -1 [/ matemática], pero [matemática] \ ldots 9999999 + (1 + -1) = \ ldots 9999999 [/ math]. Eso es malo. Uno puede estudiar álgebras no asociativas, pero en esta generalidad se comportan bastante mal, básicamente ninguno de los resultados que está acostumbrado a aplicar.
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Por supuesto, podríamos aceptar que [math] \ ldots 9999999 = -1 [/ math]. De hecho, hay infinitas identificaciones de este tipo que podríamos hacer, lo que convertiría los elementos de los números infinitos en números reales regulares, específicamente, en números algebraicos. Sin embargo, quedarían algunos números no reales, que corresponderían a elementos no algebraicos de los 10 adics.
En este caso, lo que esencialmente habrá hecho es intentar forzar la suma formal y la multiplicación de números reales y 10-adics. No creo que eso sea exactamente lo que estabas buscando, y me temo que la multiplicación no estará bien definida. Específicamente, si multiplica un 10-adic no algebraico y un real no algebraico, e intenta hacer la multiplicación usando la propiedad distributiva, no obtendrá una respuesta razonable.
Esto es lo que quiero decir. Considere [math] \ ldots 100001000100101 [/ math] y [math] 1.010010001 \ ldots [/ math] (el número de ceros entre los 1 sigue creciendo). Supongamos que intentas multiplicar estos dos números.
Bueno, intentemos calcular el dígito del 1. Usando la propiedad distributiva, nos gustaría decir que es [math] 1 \ cdot 1 + 10 ^ 2 \ cdot 10 ^ {- 2} + 10 ^ 5 \ cdot 10 ^ {- 5} + \ ldots [/ math ] que no converge. Ups
Peor aún, dado que estos dos números no son algebraicos, no hay una forma natural de darle sentido al producto identificando números infinitos y 10-adics o reales.
En resumen, hasta que pueda dar una definición consistente y universalmente aplicable de suma y multiplicación (al menos), no hay ninguna esperanza de dar sentido a las propiedades que tiene el número infinito.