Si hago [math] n [/ math] se basa en una distribución uniforme sobre [math] 0, 1, 2, \ cdots, k [/ math]. ¿Cuál es la probabilidad de que el rango de los sorteos sea al menos [matemática] r [/ matemática]?

Answer 1

Sea [math] R [/ math] el rango de [math] n [/ math] iid extrae de un Uniforme Discreto en [math] 0,1, \ dots, k [/ math], donde [math] n \ geq 2, k \ geq 1 [/ matemáticas]. Encontremos la distribución de [matemáticas] R [/ matemáticas], derivando su función de masa de probabilidad [matemáticas] P (R = r) [/ matemáticas]. Una vez que tengamos eso, podemos encontrar

[matemáticas] P (R \ geq r) = \ sum_ {j = r} ^ {k} P (R = j) [/ matemáticas]

así como varias otras cantidades relacionadas con [matemáticas] R [/ matemáticas].

Ante todo,

[matemáticas] P (R = 0) = \ frac {1} {(k + 1) ^ {n-1}} [/ matemáticas]

ya que el rango 0 significa que los sorteos del segundo al enésimo son los mismos que los del primero.
Arregle [math] r \ in \ {1,2, \ dots, k \}. [/ Math] Sea [math] A_j [/ math] el evento de que el sorteo mínimo sea [math] j [/ math] el sorteo máximo es [matemática] j + r [/ matemática]. Entonces el evento [math] R = r [/ math] es la unión de los eventos [math] A_0, A_1, \ dots, A_ {kr} [/ math], y estos eventos [math] A_j [/ math] son disjunto

Tenemos

[matemática] P (A_0) = \ frac {(r + 1) ^ n – 2r ^ n + (r-1) ^ n} {(k + 1) ^ n} [/ matemática]

dado que hay [matemáticas] (r + 1) ^ n [/ matemáticas] posibilidades para los sorteos de modo que todos estén en [matemáticas] 0,1, \ puntos, r [/ matemáticas], pero luego tenemos que excluir aquellos que faltan [matemática] 0 [/ matemática] o [matemática] r [/ matemática] (podemos contarlos por inclusión-exclusión). Por simetría, [math] P (A_j) = P (A_0) [/ math] para todos los valores de [math] j [/ math] que estamos considerando. Por lo tanto, para [math] r \ in \ {1,2, \ dots, k \} [/ math], tenemos que [math] P (R = r) [/ math] es

[matemáticas] \ frac {(k-r + 1) \ left ((r + 1) ^ n – 2r ^ n + (r-1) ^ n \ right)} {(k + 1) ^ n}. [ /matemáticas]

Answer 2

Podemos interpretar el experimento como elegir un elemento aleatorio de [matemáticas] \ {0,1, \ puntos, k \} ^ n [/ matemáticas]. Contaremos el número de elementos de [math] \ {0,1, \ dots, k \} ^ n [/ math] que tienen un rango de al menos [math] r [/ math]. La probabilidad resultante es el cociente de este número y [matemáticas] (k + 1) ^ n [/ matemáticas].

Determinaremos el número de elementos de rango exactamente [math] s [/ math]. Primero, investigaremos cuántos elementos de [matemáticas] \ {0,1, \ puntos, s \} ^ n [/ matemáticas] hay al menos una aparición de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] s [/ math] cada uno (es decir, rango [math] s [/ math]). Para [math] s> 0 [/ math], por inclusión-exclusión, podemos determinar que este número sea [math] (s + 1) ^ n-2s ^ n + (s-1) ^ n [/ math]. Por lo tanto, hay elementos [math] (k + 1-s) ((s + 1) ^ n-2s ^ n + (s-1) ^ n) [/ math] de [math] \ {0,1, \ puntos, k \} ^ n [/ math] de rango [math] s [/ math]. El número de elementos de rango al menos [math] r [/ math], para [math] r> 0 [/ math], ahora viene dado por la suma

[matemáticas] \ sum_ {s = r} ^ k (k + 1-s) ((s + 1) ^ n-2s ^ n + (s-1) ^ n). [/ matemáticas]

Sea [math] a_s: = (k + 1-s) ((s + 1) ^ n-2s ^ n + (s-1) ^ n) [/ math].

Ahora considere las siguientes secuencias:

[matemáticas] b_s: = (k + 1) ((s + 1) ^ n-2s ^ n + (s-1) ^ n) [/ matemáticas]

[matemáticas] b’_s: = s ((s + 1) ^ n-2s ^ n + (s-1) ^ n), [/ matemáticas]

tal que [matemáticas] a_s = b_s-b’_s [/ matemáticas].

Desde
[matemáticas] \ frac1 {(k + 1)} \ sum_ {s = r} ^ k b_s = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {s = r} ^ k (s + 1) ^ n-2 \ sum_ {s = r} ^ ks ^ n + \ sum_ {s = r} ^ k (s-1) ^ n = [/matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {s = r} ^ {k + 1} s ^ n-2 \ sum_ {s = r} ^ ks ^ n + \ sum_ {s = r-1} ^ {k-1} s ^ n = [/ matemáticas]

[matemáticas] (k + 1) ^ nr ^ n + (r-1) ^ nk ^ n [/ matemáticas]

obtenemos

[matemáticas] \ sum_ {s = r} ^ k b_s = (k + 1) ((k + 1) ^ nk ^ n + (r-1) ^ nr ^ n) [/ matemáticas]

Queda por evaluar [matemáticas] \ sum_ {s = r} ^ k b’_s [/ matemáticas].

[matemáticas] b’_s: = s ((s + 1) ^ n-2s ^ n + (s-1) ^ n) = [/ matemáticas]

[matemáticas] (s + 1-1) \ cdot (s + 1) ^ n [/ matemáticas] [matemáticas] -2s ^ {n + 1} + ((s-1) +1) (s-1) ^ n = [/ matemáticas]

[matemáticas] (s + 1) ^ {n + 1} – (s + 1) ^ n [/ matemáticas] [matemáticas] -2s ^ {n + 1} + (s-1) ^ {n + 1} + (s-1) ^ n [/ matemáticas].

Ahora considere secuencias

[matemáticas] c_s: = (s-1) ^ n- (s + 1) ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] c’_s: = (s + 1) ^ {n + 1} -2s ^ {n + 1} + (s-1) ^ {n + 1} [/ matemáticas]

tal que [math] b’_s = c_s + c’_s [/ math].

Ahora tenga en cuenta (mediante un argumento similar al utilizado para [math] b_s [/ math]):

[matemáticas] \ sum_ {s = r} ^ k c_s = (r-1) ^ n + r ^ n- (k + 1) ^ nk ^ n [/ matemáticas]

Queda por evaluar [matemáticas] \ sum_ {s = r} ^ k c’_s [/ matemáticas]. Observamos la similitud con [math] b_s [/ math] y tomamos un atajo:

[matemáticas] \ sum_ {s = r} ^ k c’_s = [/ matemáticas] [matemáticas] \; (k + 1) ^ {n + 1} -k ^ {n + 1} + (r-1) ^ {n + 1} -r ^ {n + 1} [/ matemáticas].

Combinando nuestros resultados, obtenemos

[matemáticas] \ sum_ {s = r} ^ k a_s = \ sum_ {s = r} ^ k (b_s- (c_s + c’_s)) = [/ matemáticas]

[matemáticas] (k + 1) ((k + 1) ^ nk ^ n + (r-1) ^ nr ^ n) [/ matemáticas] [matemáticas] – (r-1) ^ nr ^ n + (k + 1) ^ n + k ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] – (k + 1) ^ {n + 1} + k ^ {n + 1} – (r-1) ^ {n + 1} + r ^ {n + 1} = [/ matemáticas]

[matemáticas] (k + 2) (k + 1) ^ nk \ cdot k ^ n [/ matemáticas] [matemáticas] + k (r-1) ^ n- (k + 2) r ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] – (k + 1) (k + 1) ^ n + k \ cdot k ^ n [/ matemáticas] [matemáticas] – (r-1) (r-1) ^ n + r \ cdot r ^ n = [/ matemáticas]

[matemáticas] (k + 1) ^ n- (k-r + 2) r ^ n- (rk-1) (r-1) ^ n. [/ matemáticas]

Por lo tanto, dado un número entero [math] r> 0 [/ math], la probabilidad deseada es:

[matemáticas] 1- \ frac {(k-r + 2) r ^ n- (k-r + 1) (r-1) ^ n} {(k + 1) ^ n}. \; \; \; \; \ cuadrado [/ matemáticas]

(Si r no es un entero, redondea hacia abajo al siguiente entero. Si [math] r = 0 [/ math], entonces la respuesta es 1. He verificado mi respuesta experimentalmente).