No. La Ley del Número Grande (LLN) no es una declaración sobre ningún experimento en particular. Se trata de un gran número (de ahí el nombre) de experimentos independientes juntos. Parece que estás confundiendo dos experimentos.
El primero es un solo lanzamiento de un dado justo y registrar el valor [matemática] x_i \ in \ {1, 2, 3, 4, 5, 6 \}, \ i = 1, 2, 3, \ ldots. [/ matemáticas] Como ya has calculado, obtener un 6 tiene una probabilidad de 1/6. El LLN establece que la probabilidad de que el valor promedio de los resultados converja a 3.5. Si dejamos [math] S_n = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n x_i [/ math], esto se traduce aproximadamente a [math] \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} S_n = 3.5 . [/matemáticas]
Observe que hay una expresión límite. Significa que para valores grandes de [math] n, [/ math] el valor promedio probablemente sea aproximadamente 3.5. Podemos calcular un límite sobre qué tan rápido converge a cero si calculamos la varianza
[matemáticas] \ sigma ^ 2 = E (x_i ^ 2) – 3.5 ^ 2 = \ frac {1} {6} \ sum_ {k = 1} ^ 6 \ frac {1} {k ^ 2} – \ frac { 49} {4} = 35/12. [/matemáticas]
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Usaremos un resultado poderoso, que declararé primero para aclarar los cálculos a continuación. La desigualdad de Chebyshev establece que para nuestra notación definida anteriormente junto con la media y el número positivo [matemáticas] \ mu, \ epsilon [/ matemáticas]
[math] \ mathbb {P} (| S_n – \ mu | \ ge \ epsilon) \ le \ frac {\ sigma ^ 2} {n \ epsilon ^ 2} [/ math]
Podemos estimar la probabilidad de que el valor promedio esté a 2.5 de la media (es decir, [matemática] S_n = 6, \ S_n \ le 1.5 [/ matemática]). Considere el enlace simple [math] \ mathbb {P} (S_n = 6) \ le \ mathbb {P} (S_n = 6 \ \ mathrm {or} \ S_n \ le 1.5) = \ mathbb {P} (| S_n – 3.5 | \ ge 2.5). [/matemáticas]
Enchufe [math] \ epsilon = 2.5, \ mu = 3.5, \ sigma ^ 2 = 35/12, n = 10 ^ 6 [/ math] para la desigualdad de Chebyshev
[matemáticas] \ mathbb {P} (S_n = 6) \ le \ mathbb {P} (| 6 – 3.5 | \ ge 2.5) \ le \ frac {35/12} {10 ^ 6 (25/4)} \ aproximadamente 4.66 \ por 10 ^ {- 7}. [/ math] Es cierto que este es un límite muy crudo. Ese es el primer experimento.
El segundo experimento es lanzar un millón de dados simultáneamente. Usted pregunta la probabilidad de obtener un 6 para todos los valores. ¿Cuántos experimentos, [matemática] N, [/ matemática] realizamos antes de esperar ver este resultado? Como has calculado, esto tiene una probabilidad [matemática] p = 6 ^ {- 1,000,00}. [/ math] La expectativa de repetidos millones de lanzamientos antes de observar dicho resultado se denota [math] \ mathbb {E} (N) [/ math]. Agitando a mano, esta es una variable aleatoria geométrica. El LLN en esta serie de experimentos indica que necesitaría repetir aproximadamente [math] 1 / p [/ math] veces para obtener ese resultado, o [math] \ mathbb {E} (N) = 6 ^ {1,000,000} \ aproximadamente 1.78 \ veces 10 ^ {778151}, [/ matemática] que es difícil de comprender, y mucho menos imaginando tirar un millón de dados tantas veces.