Supongamos que usted mismo no está incluido allí …
Y supongamos que los días b de todos tus amigos (día del año) son independientes (en realidad deberían ser …), e ignoramos el 29 de febrero.
Además, suponga que cada uno de sus amigos tiene su cumpleaños distribuido uniformemente entre los 365 días del año.
Entonces, “un día en particular” puede ser cualquiera de los 365 días, lo que significa que el día elegido es irrelevante.
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Ahora, denota los eventos “1er amigo que no tiene b-day este día” [matemáticas] E_1 [/ math], “2do amigo que no tiene b-day este día” [matemáticas] E_2 [/ math], …
Obviamente, [matemática] P \ left (E_1 \ right) = P \ left (E_2 \ right) =… = P \ left (E_n \ right) = \ frac {364} {365} [/ math].
Por lo tanto, desde la independencia, la probabilidad deseada es:
[matemáticas] \ frac {364 ^ n} {365 ^ n} [/ matemáticas].
Hablemos más al respecto.
Con los supuestos anteriores. Deje que [math] X [/ math], una variable aleatoria discreta, denote la cantidad de amigos que tienen un día de cumpleaños el día elegido, con los parámetros [math] n [/ math] y [math] p [/ math], donde [ matemáticas] p = \ frac {1} {365} [/ matemáticas]. Yay [matemáticas] X [/ matemáticas] es una variable aleatoria binomial.
Por lo tanto, la probabilidad de que nadie tenga b-day es solo [matemática] P \ left \ {X = 0 \ right \} [/ math].
Además, también podemos calcular el número esperado de amigos que cumplen años ese día en particular.
Es decir: [matemáticas] E \ left [X \ right] = np = \ frac {n} {365} [/ math].
Puede ver esto desde la expectativa de variables aleatorias binomiales o viendo [matemáticas] X [/ matemáticas] como la suma de [matemáticas] n [/ matemáticas] variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una con media [matemáticas] p [/ matemáticas].