La fórmula de Heron te da el área del triángulo desde los lados. Por lo general está escrito
[matemáticas] A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} [/ matemáticas]
donde s es el semiperimetro:
[matemáticas] s = \ dfrac {a + b + c} {2} [/ matemáticas]
- No se que hacer
- Hice una pregunta tratando de defender a alguien, que desean que elimine. ¿Cómo hago esto?
- Quiero ser un hacker ético, pero no tengo ninguna habilidad como programador, ¿cómo debo proceder?
- Mi perro se lanza y ladra a las personas y los perros que pasan. ¿Cómo puedo hacer que se detenga?
- Creo que el racismo está mal, pero con respecto a las relaciones, no quiero salir con personas de una determinada raza. ¿Soy racista?
No voy a derivarlo, o más bien lo voy a derivar para el triángulo degenerado, el que tiene área cero. En ese caso, los puntos del triángulo son colineales; escribamos la relación entre los lados como
[matemáticas] | a | + | b | = | c | [/ matemáticas]
para un poco de etiquetado de los lados del triángulo degenerado. Vamos al cuadrado hasta que desaparezcan los valores absolutos:
[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + 2 | a || b | = c ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 | a | b | = c ^ 2- a ^ 2 -b ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] 4a ^ 2b ^ 2 = (c ^ 2 – a ^ 2 – b ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ matemáticas {A} = 0 = 4a ^ 2b ^ 2 – (c ^ 2 – a ^ 2 – b ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]
Vamos a pasar un poco de tiempo trabajando en esta expresión para relacionar [math] \ mathcal {A} [/ math] con el área del triángulo [math] A [/ math].
Olvidemos que [math] \ mathcal {A} = 0 [/ math] en el caso colineal, y simplemente trabaje con él. Podemos hacerlo simétrico:
[matemáticas] \ matemáticas {A} = 4a ^ 2b ^ 2 – (c ^ 2 – (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ matemáticas {A} = 4a ^ 2b ^ 2 – (c ^ 4 + (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 – 2 c ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2)) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ matemáticas {A} = 4a ^ 2b ^ 2 – c ^ 4 – a ^ 4 – b ^ 4 – 2a ^ 2b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2c ^ 2 [/ matemáticas ]
[matemáticas] \ matemáticas {A} = – c ^ 4 – a ^ 4 – b ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2c ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ matemáticas {A} = 2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) – (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) [/ matemáticas]
Esa es la forma simétrica. Vamos a obtener la factorización completa. Comencemos de nuevo por la diferencia de dos cuadrados:
[matemáticas] \ matemáticas {A} = 4a ^ 2b ^ 2 – (c ^ 2 – a ^ 2 – b ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ matemáticas {A} = (2ab – (c ^ 2 – a ^ 2 – b ^ 2)) (2ab + (c ^ 2 – a ^ 2 – b ^ 2)) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ matemáticas {A} = ((a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) – c ^ 2) (- a ^ 2 + 2ab – b ^ 2) + c ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ matemáticas {A} = ((a + b) ^ 2 – c ^ 2) (c ^ 2 – (ab) ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ matemáticas {A} = (a + b + c) (a + bc) (- a + b + c) (a-b + c) [/ matemáticas]
¿Qué tiene que ver todo esto con Heron? Volvamos a escribir el semiperímetro:
[matemáticas] s = \ dfrac {a + b + c} {2} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que en nuestra última expresión factorizada para [math] \ mathcal {A} [/ math], el primer factor es [math] 2s [/ math]. El segundo factor es [matemáticas] 2 (sc) [/ matemáticas], el tercero es [matemáticas] 2 (sa) [/ matemáticas] y el cuarto es [matemáticas] 2 (sb) [/ matemáticas]. Entonces obtenemos
[matemática] \ matemática {A} = (2s) (2 (sc)) (2 (sa)) (2 (sb)) = 16s (sa) (sb) (sc) [/ math]
OK, encontramos otra expresión para [math] \ mathcal {A}. [/ Math] Relacionándola con la fórmula de Heron,
[matemáticas] \ matemáticas {A} = 16s (sa) (sb) (sc) = 16A ^ 2 [/ matemáticas]
o
[matemática] A = \ dfrac {\ sqrt {\ matemática {A}}} {4} [/ matemática]
Bien, trabajamos cuatro o cinco expresiones diferentes para el área de un triángulo dados los lados. Probemos uno. Por lo general, el asimétrico es más conveniente para el cálculo:
[matemáticas] \ matemáticas {A} = 4a ^ 2b ^ 2 – (c ^ 2 – a ^ 2 – b ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = 4 (23.3627) ^ 2 (47.2099) ^ 2 – (69.4535 ^ 2 – 23.3627 ^ 2 – 47.2099 ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] = 666787.7777780316816291 [/ matemáticas]
Entonces nuestra área es [matemática] A = \ dfrac {\ sqrt {666787.7777780316816291}} {4} \ aproximadamente 204.1 [/ matemática] metros cuadrados
Tenga en cuenta que si tiene las coordenadas de los vértices en lugar de las longitudes de los lados, hay una forma relacionada de calcular el área de un triángulo, que se generaliza fácilmente a polígonos arbitrarios: la respuesta del usuario de Quora a ¿Cuál es el significado en matemáticas del área negativa?