¿Estoy en el camino correcto con esta pregunta de números complejos?

Answer 1

Tim Farage ya ha producido una excelente respuesta algebraica. Daré una solución geométrica aquí. Le sugiero que dibuje un sistema de coordenadas y siga mi explicación marcando los puntos y líneas.

Los números complejos se pueden visualizar como puntos en el plano. Entonces, el primer número [matemáticas] z_1 = 1 + 3i [/ matemáticas] corresponde al punto [matemáticas] (1,3) [/ matemáticas]. El segundo número [math] z_2 = -1-i [/ math] corresponde al punto [math] (- 1, -1) [/ math] pero también es una dirección.

Todos los números de la forma [matemática] z_1 + az_2 [/ matemática] están de hecho en una línea a través del punto [matemática] (1, 3) [/ matemática] con la dirección [matemática] (- 1, -1) [ /matemáticas]. Es posible determinar una ecuación para esta línea, pero omitiré ese paso aquí. Resulta que la ecuación es [matemática] y = x + 2 [/ matemática]. Puede comprobar fácilmente que esta línea pasa por el punto [matemática] (1, 3) [/ matemática] y que la dirección [matemática] (- 1, -1) [/ matemática] es paralela a la línea.

La magnitud [matemática] | z_1 + az_2 | [/ matemática] corresponde a la distancia desde el punto en la línea hasta el origen. Entonces, el problema es determinar el punto en la línea más cercana al origen. Si observa el gráfico de la línea, es bastante obvio que el punto más cercano al origen es el punto [matemáticas] (- 1, 1) [/ matemáticas]. Esto corresponde al número complejo [matemáticas] z_3 = -1 + i [/ matemáticas].

Solo resta determinar el valor correspondiente de [math] a [/ math]. Esto se puede hacer resolviendo la ecuación [matemáticas] z_1 + az_2 = z_3 [/ matemáticas]. La solucion es

[matemáticas] a = \ frac {z_3-z_1} {z_2} = \ frac {-1 + i – (1 + 3i)} {- 1-i} = \ frac {-2-2i} {- 1-i } = 2 [/ matemáticas].

Esta es la misma solución a la que llegó Tim Farage.

Answer 2

Primero, aquí es donde su respuesta no funciona. Está suponiendo que [math] | z_1 + az_2 | = | z_1 | + | az_2 | [/ math]. Este no es el caso. Piense en este ejemplo: [matemáticas] | 4 + (- 4) | = | 4 | + | -4 | [/ matemáticas]. Simplificando, esto da [matemáticas] 0 = 8 [/ matemáticas], que por supuesto es falso.

Así que aquí hay una manera de resolver este problema. [matemáticas] z_1 + az_2 = (1 + 3i) + a (-1-i) [/ matemáticas].

Recopilando las partes reales e imaginarias, obtenemos [matemáticas] (1 + 3i) + a (-1-i) = (1-a) + (3-a) i [/ matemáticas].

Entonces, para los valores absolutos, obtenemos [math] | z_1 + az_2 | = | (1-a) + (3-a) i | [/ math].

Ahora, por definición, el valor absoluto de un número complejo [matemática] x + iy [/ matemática] es [matemática] \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemática]. Esta definición proviene del hecho de que el valor absoluto de un número complejo es su distancia al origen, (0,0). Y para encontrar la distancia al origen, utilizamos el Teorema de Pitágoras. Entonces, en su caso [math] | (1-a) + (3-a) i | = \ sqrt {(1-a) ^ 2 + (3-a) ^ 2} [/ math]. Simplificando el lado derecho obtenemos:

[matemáticas] \ sqrt {(1-a) ^ 2 + (3-a) ^ 2} = \ sqrt {1-2a + a ^ 2 + 9-6a + a ^ 2} = \ sqrt {2a ^ 2- 8a + 10} [/ matemáticas].

Para resumir, hemos encontrado que [math] | z_1 + az_2 | = \ sqrt {2a ^ 2-8a + 10} [/ math].

Como queremos el valor mínimo de esto, tomamos su derivada. La buena noticia es que el valor mínimo de [math] \ sqrt {2a ^ 2-8a + 10} [/ math] es el valor mínimo de [math] 2a ^ 2-8a + 10 [/ math] porque la raíz cuadrada La función está aumentando. La derivada de [matemáticas] 2a ^ 2-8a + 10 [/ matemáticas] es [matemáticas] 4a-8 [/ matemáticas]. Establecer [matemática] 4a-8 = 0 [/ matemática] bastante bien da [matemática] a = 2 [/ matemática].

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No lo solicitó, pero veamos qué da el valor mínimo de la expresión.

[matemáticas] | z_1 + az_2 | = \ sqrt {2a ^ 2-8a + 10} = \ sqrt {8-16 + 10} = \ sqrt {2} [/ matemáticas].