Si lanzo una moneda 1 millón de veces, ¿cuál es la probabilidad de que caiga en la cara?

Answer 1

Suponga que la moneda es una moneda justa y que todos los lanzamientos son independientes. Entonces la probabilidad de lanzar 1 millón de cabezas seguidas es

[matemáticas] \ frac1 {2 ^ {1000000}} \ approx10 ^ {- 301030} [/ matemáticas]

Una pregunta relacionada es: ¿cuántos lanzamientos se esperan para lanzar 1 millón de caras seguidas? Está cerca de [math] 10 ^ {301030} [/ math] lanzamientos.

Cuánto tiempo tomaría? Arrojemos mil millones de monedas por segundo, [matemáticas] 10 ^ 9 [/ matemáticas] lanzamientos por segundo. Todo lo que necesitamos es [matemática] 10 ^ {301021} [/ matemática] segundos. Hay 31,536,000 segundos / año, por lo que no necesitaremos más de aproximadamente [matemáticas] 10 ^ {301013} [/ matemáticas] años. Suponiendo que el universo dure un billón de años, necesitaremos unos universos [matemáticos] 10 ^ {301001} [/ matemáticos].

Eso no va a funcionar. Necesitamos hacerlo en paralelo. Hagamos que cada partícula del universo arroje monedas al mismo tiempo. Hay, digamos, [matemáticas] 10 ^ {100} [/ matemáticas] partículas. Eso acelerará las cosas. Pero aún necesitamos hacer esto en [matemáticas] 10 ^ {300901} [/ matemáticas] universos diferentes.

Tal vez no lo estamos haciendo lo suficientemente rápido. Haz un lanzamiento por unidad de tabla, aproximadamente [matemática] 10 ^ {- 44} [/ matemática] segundos. Eso es mucho más rápido que un lanzamiento por [matemáticas] 10 ^ {- 9} [/ matemáticas] lanzamientos por segundo. Ahora solo necesitamos hacer esto en [math] 10 ^ {300866} [/ math] universos.

No creo que vaya a suceder.

Answer 2

Dado que el problema no indica cuántas cabezas, también podríamos encontrar la fórmula de la probabilidad de cualquier cantidad de cabezas,

Supongamos que la probabilidad de que la cabeza sea [matemática] p [/ matemática] y de la cola sea [matemática] q [/ matemática], [matemática] p + q = 1 [/ matemática].

Deje que el número total de lanzamientos sea [matemático] n [/ matemático], y el número total de lanzamientos de cabeza sea [matemático] k [/ matemático]. Recordamos la distribución binomial,

[matemáticas] (p + q) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} p ^ kq ^ {nk} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ binom {n} {k} = \ frac {n!} {k! (nk)!} [/ matemáticas]

Recordemos la aproximación de Stirling,

[matemáticas] n! \ approx \ sqrt {2 \ pi} n ^ {n + {1 \ over 2}} e ^ {- n} [/ math]

aplicarlo a la ecuación binomial,

[matemáticas] \ binom {n} {k} = \ frac {n!} {k! (nk)!} [/ matemáticas] [matemáticas] \ aprox \ sqrt {\ frac {n} {2 \ pi k (nk )}} (\ frac {n} {k}) ^ k (\ frac {n} {nk}) ^ {nk} [/ math]

La probabilidad de que [math] k [/ math] salga de los lanzamientos de [math] n [/ math] es,

[matemáticas] \ binom {n} {k} p ^ kq ^ {nk} \ approx \ sqrt {\ frac {n} {2 \ pi k (nk)}} (\ frac {np} {k}) ^ k (\ frac {nq} {nk}) ^ {nk} [/ math]

Si queremos averiguar la probabilidad de [matemática] 500,000 [/ matemática] caras con [matemática] 1,000,000 [/ matemática] lanzamientos y [matemática] p = q = {1 \ over 2} [/ matemática], tenemos

[matemáticas] \ binom {1000000} {500000} 2 ^ {- 1000000} \ aprox [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {\ frac {1000000} {2 \ pi \ cdot 500000 \ cdot 500000}} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ sqrt {\ frac {1} {500000 \ pi}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ aproximadamente 0.0008 [/ matemáticas]

Esto también implica que [math] \ binom {1000000} {500000} [/ math] es un número enorme.

Answer 3

Una interpretación alternativa de la pregunta es la probabilidad de aterrizar sobre cabezas al menos una vez después de 1 millón de vueltas. Para encontrar esto, uno puede simplemente restar la probabilidad de que la moneda nunca caiga en cara (es decir, la probabilidad de caer en la cola un millón de veces seguidas) de 1. Por lo tanto, suponiendo que la moneda es justa y que todos los lanzamientos son independientes como antes (es decir, como mencionó David Joyce), la probabilidad de lanzar al menos una cabeza después de 1 millón de vueltas es

[matemáticas] 1 – \ frac1 {2 ^ {1000000}} [/ matemáticas]

Answer 4

Suponiendo que la probabilidad de que la cabeza en cada lanzamiento sea p, la probabilidad de obtener k cabezas en n lanzamientos es: (n! / K! (Nk)!) * P ^ k * (1-p) ^ (nk). Suponiendo que la moneda es justa, tienes p = 0,5 yn = 1000. Por lo tanto, puedes calcular fácilmente la probabilidad de obtener k caras.

Answer 5

Aterrizar en cabezas una vez en un millón de lanzamientos, es decir, “Probabilidad de una secuencia que consta de una cabeza y (1000000-1) colas, notando que hay un millón de posiciones diferentes en la secuencia (es decir, permutaciones) para que ocurra la cabeza”

[matemáticas]
\ left (P (cabeza) * P (cola) ^ {1000000-1} \ right) * 1000000 = \\
\ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {1000000} * 1000000 = \\
\ frac {1000000} {2 ^ 1000000} = \\
\ frac {10 ^ 6} {10 ^ 301029.7} = \\
10 ^ {- 301023.7}
[/matemáticas]

Aterrizaje en cabezas un millón de veces:

[matemáticas]
P (cabeza) ^ {1000000} = \\
\ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {1000000} = \\
\ frac {1} {10 ^ 301030} = \\
10 ^ {- 301030}
[/matemáticas]

¿Aterrizar en las cabezas al menos una vez? Uno menos la probabilidad de que aterrice en las colas un millón de veces (la única secuencia sin cabezas).

[matemáticas]
1 – P (cola) ^ {1000000} = \\
1 – \ frac {1} {2 ^ {1000000}} \ aprox 1
[/matemáticas]

Answer 6

¿Es esta una pregunta con trampa? 50/50 para el próximo lanzamiento, sin importar lo que haya sucedido antes, incluso 1000 cabezas.

¿O te refieres a la probabilidad de obtener cabezas cada vez?

Si es lo último, muy bajo, como una posibilidad en 2 veces 2 … 1000 veces. Que es un número muy grande, aproximadamente 10 ^ 300. No ha habido tantos nanosegundos desde el Big Bang, por lo que incluso si hubiera comenzado en ese entonces, volteando mil millones de monedas por segundo, no habría sucedido todavía, con una certeza de una parte en muchos billones.

Answer 7

La probabilidad de obtener caras es 1/2, o un resultado esperado de 500 caras.

La probabilidad de obtener TODAS las cabezas es 9.333 x 10 ^ -300%.

¡Espero que esto ayude!

Mejor,
Zane

Answer 8

Casi exactamente igual a la probabilidad de que la moneda sea una “moneda de mago”. No puedo encontrar una estimación del número de monedas en circulación, pero es una buena pregunta.

Answer 9

Este es un ensayo por excelencia de Bernoulli. Suponiendo una moneda justa, la probabilidad de cara es igual en cada intento (1/2)

Answer 10

1-probabilidad de no tener cabezas
= 1-1 / 2 ^ 1000

Answer 11

Espacio muestral = 2 ^ 1000
Probab por conseguir solo una cabeza será
1000 \ 2 ^ 1000
Para todas las cabezas será 1 \ 2 ^ 1000