Estoy en un grupo de 9 amigos. Hay 3 pares de nosotros (6 de nosotros) cuyos cumpleaños son consecutivos. ¿Cuáles son las probabilidades?

No está claro si esto significa que los otros tres tienen cumpleaños separados de los tres pares. Tampoco está claro que desee exactamente esta probabilidad, o que desee considerar esta coincidencia o una coincidencia más extrema, como cuatro pares adyacentes. ¿Qué pasa si todos los 6 son adyacentes? Es decir, habría 5 pares adyacentes; o ¿qué pasa si en dos de esos pares hubo un cumpleaños en común?

Suponga que no hay otras coincidencias. En ese caso, podemos encontrar la probabilidad condicional de los tres pares, y no las probabilidades incondicionales.

Organice los cumpleaños de 9 amigos en un círculo (porque el 31 de diciembre es adyacente al 1 de enero). Luego inserte los otros 356 días del año en los 9 espacios entre los cumpleaños. El número de formas de hacer esto es el número de particiones de 356 objetos en 9 grupos que conservan el orden. Este es el denominador de la probabilidad requerida. Para el numerador necesitamos el número de particiones de 356 objetos en 6 grupos, preservando el orden multiplicado por el número de formas de agruparlos en 3 pares y 3 tonos únicos sin cambiar su orden.

El número de particiones en el denominador se puede encontrar de la siguiente manera. Imagina los 356 días en un círculo. Inserte 9 divisores en el círculo sin dos adyacentes. El primero puede ir a cualquier parte y no necesitamos contar las formas. La siguiente puede ir a cualquier posición no adyacente en sentido horario desde la primera, pero dejando espacio para los divisores restantes. Continúa de la misma manera multiplicando el número de posibilidades en cada etapa.

Para el numerador, hay seis grupos, pero los tres pares reducen el número de objetos a dividir a 353.

Te dejaré el resto a ti.

P (3 pares de b.days consecutivos) = algo / 365 ^ 9

Y me resulta muy difícil calcular ese “algo”, porque es del orden de 6 * 10 ^ 19. Pero tengo una computadora, así que puedo darle una respuesta aproximada. Usando R (El Proyecto R para Computación Estadística), hice 10 ^ 6 simulaciones con el código

consecutives=rep(0,10^6)

for(i in 1:1000000){

ar=sort(sample(365,9, replace=T))

consecutives[i]=sum(diff(ar)==1)

}

table(consecutives)/10^6

dando (en mi caso)

P (0 b.days consecutivos) = 0.821678

P (1 b.days consecutivos) = 0.164841

P (2 días b consecutivos) = 0.012957

P (3 b.days consecutivos) = 0.000517

P (4 o más días b consecutivos) = 0.000007

y la probabilidad, que le interesa, tiene un intervalo de confianza del 95% [0.0004738456; 0,0005640349]. Por lo tanto, es bastante raro, pero común a escala mundial.