Realicé una sustitución en la integral doble a continuación, pero ¿cómo debo manejar los límites de integración con una región cuadrada?

Answer 1

No necesitas cambiar las variables. La primera integral es fácil y la segunda es una función especial estándar:

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 dy \; \ int_0 ^ 1 dx \; \ frac {1} {1 – xy} = \ int_0 ^ 1dy \; y ^ {- 1} \ ln (1- yx) \ Big | _0 ^ 1 [/ math]

[matemáticas]. \ qquad = \ int_0 ^ 1dy \; y ^ {- 1} \ ln (1 – y) = \ text {Li} _2 (y) \ Big | _0 ^ 1 = \ frac {\ pi ^ 2 } {6} [/ matemáticas]

donde [math] \ text {Li} _2 (x) [/ math] es la función dilogarithm / Spence.

Si realiza la rotación anterior, terminará con una desagradable región en forma de diamante donde los límites de la integral [matemática] u [/ matemática] dependen de [matemática] v [/ matemática]. Obviamente, obtienes el mismo resultado, pero aprender sobre dilogaritmos es más útil en general.

Si eres terco, entonces este es un problema de tarea:

[matemáticas] u = (x + y) / 2 \ quad v = (xy) / 2 \ qquad 0 <u <\ frac {1} {2} \ quad -u <v <u \ qquad \ quad \ frac { 1} {2} <u <1 \ quad – (1-u) <v <(1-u) [/ math]
obtienes un

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 du \ int _ {- a (u)} ^ {a (u)} dv \; \ frac {1} {1 – u ^ 2 + v ^ 2} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 du \; 2 \ arctan (a (u) / \ sqrt {1 – u ^ 2}) / \ sqrt {1- u ^ 2} [/ matemáticas]

dónde

[matemáticas] a (u) = \ begin {cases} u & 0 <u <\ frac {1} {2} \\ 1-u & \ frac {1} {2} <u <1 \ end {cases} [/matemáticas]

La mitad inferior de la integral es bastante fácil, la mitad superior parece bastante rugosa.

Answer 2

La región cuadrada en el plano xy está limitada por x = 0, x = 1, y = 0, y = 1. La región equivalente en el plano uv se muestra a continuación:

Es la región abcd. La integral se escribe como la suma de dos integrales. Los límites u y v para la primera integral se obtienen de la región sombreada roja que es [matemática] v = -u [/ matemática] a [matemática] v = u [/ matemática] y [matemática] u = 0 [/ matemática ] a [matemáticas] u = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]. Los límites para la segunda integral se obtienen de la región sombreada verde que es [matemática] v = u-1 [/ matemática] a [matemática] v = 1-u [/ matemática] y [matemática] u = \ frac {1 } {2} [/ matemáticas] a [matemáticas] u = 1 [/ matemáticas].

Answer 3

Comencemos usando un [math] \ color {blue} {\ text {Taylor expansion}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} I & = \ int ^ {1} _ {0} \ int ^ {1} _ {0} \ color {blue} {\ dfrac {1} {1-xy}} \ textrm {d} x \ textrm {d} y \\ & = \ int ^ {1} _ {0} \ int ^ {1} _ {0} \ color {azul} {\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} (xy) ^ k} \ textrm {d} x \ textrm {d} y \\ & = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ int ^ {1} _ {0} \ int ^ {1} _ {0} y ^ kx ^ k \ textrm {d} x \ textrm {d} y \\ & = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ int ^ {1} _ {0 } y ^ k \ color {verde} {\ int ^ {1} _ {0} x ^ k \ textrm {d} x} \ textrm {d} y \\ & = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ int ^ {1} _ {0} y ^ k \ color {green} {\ frac {1} {(k + 1)}} \ textrm {d} y \\ & = \ sum_ {k = 0 } ^ {\ infty} \ frac {1} {(k + 1) ^ 2} \\ & = \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ end {align *} [/ math]

En el que utilicé la solución del problema de Basilea

Answer 4

Creo que tu sustitución lo hace más difícil.

[matemáticas] I = \ displaystyle \ int ^ {1} _ {0} \ int ^ {1} _ {0} \ dfrac {\ textrm {d} x \ textrm {d} y} {1-xy} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int ^ {1} _ {0} [- \ frac {1} {y} \ ln (1-xy)] ^ {x = 1} _ {x = 0} \ textrm {d } y [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int ^ {1} _ {0} (- \ frac {1} {y} \ ln (1-y)) \ textrm {d} y [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int ^ {1} _ {0} (- \ frac {1} {y} (- y- \ frac {y ^ 2} {2} – \ frac {y ^ 3} {3 } – …)) \ textrm {d} y [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int ^ {1} _ {0} (1+ \ frac {y} {2} + \ frac {y ^ 2} {3} +…) \ textrm {d} y [/ math ]

[matemática] = \ displaystyle [(y + \ frac {y ^ 2} {2.2} + \ frac {y ^ 3} {3.3} +…)] ^ {y = 1} _ {y = 0} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle (1+ \ frac {1} {2.2} + \ frac {1} {3.3} + …) [/ matemáticas]

Lo que suma a [matemáticas] \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]. ¡Pero espero que ya lo supieras y estés tratando de demostrarlo con tu sustitución de U y V!

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Así que volvamos a tu pregunta original. El rango de integración se ve así

[matemáticas] \ begin {pmatrix} x & y & u & v \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ frac12 & – \ frac12 \\ 1 & 0 & \ frac12 & \ frac12 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]

Entonces tienes una forma de diamante en el espacio (u, v):

Lo que puedes manejar dividiéndolo en dos partes:

Área A: [matemáticas] u \ in (0, \ frac12), v \ in (-u, u) [/ matemáticas]

Área B: [matemática] u \ in (\ frac12,1), v \ in (- (1-u), (1-u)) [/ math]

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Lo siento, fuera de tiempo y esto puede estar más allá de mí de todos modos. Sin embargo, acabo de encontrar lo que parece ser la respuesta aquí:

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