Tengo una bolsa llena de 11 trozos de papel. Selecciono al azar uno, 100 veces. ¿Cuáles son las probabilidades de que las 11 piezas se elijan al menos una vez?

Answer 1

Creo que respondí mi propia pregunta. Es una probabilidad del 99.9%. No sé si esto es correcto: escribí un código para determinar esto. Si alguien sabe cómo hacer esto con las matemáticas, sería genial.

Programa de clase pública
{
static Random rng = new Random (Guid.NewGuid (). GetHashCode ());
public static void Main (cadena [] args)
{
int cuenta = 0;
tratar
{
Console.WriteLine (“¿Número de días?”);
int días = Convert.ToInt32 (Console.ReadLine ());
Console.WriteLine (“¿Número de iteraciones?”);
iteraciones dobles = Convert.ToDouble (Console.ReadLine ());
int [] posibilidades = nuevo int [11];
para (int i = 0; i <posibilidades. Longitud; i ++)
{
posibilidades [i] = i;
}
doble resultado = 0;
while (cuenta <iteraciones)
{
int [] resultados = nuevo int [días];
for (int i = 0; i <results.Length; i ++)
{
resultados [i] = rng.Next (0, 11);
}
if (! (possibilites.ToList (). Excepto (results.ToList ()). Any ()))
{
++ resultado;
}
++ recuento;
}
Console.WriteLine (“Existe un {0}% de posibilidades después de {1} días de que todas las piezas hayan sido seleccionadas”, ((resultado / iteraciones) * 100). ToString (“F2”, CultureInfo.InvariantCulture), días);
}
catch (FormatException)
{
Console.WriteLine (“No es doble. Saliendo”);
}
catch (OverflowException)
{
Console.WriteLine (“El número es demasiado grande. Saliendo”);
}
captura (excepción)
{
Console.WriteLine (“Error desconocido, contacta al creador con tu entrada. Saliendo”);
}
Console.Read ();

}
}

Answer 2

P (todos los 11 al menos 1) = 1-P (1 en absoluto) = 1- (P (se pierde 1) + P (se pierden 2) +… + P (se pierden 10) = 1 – ((10 / 11) ^ 100 + (9/11) ^ 100 +… + (1/11) ^ 100)

(10/11) ^ 100 es aproximadamente .00007.

10/11> 9/11>…> 1/11

Entonces 1–10 * (10/11) ^ 100

Entonces la probabilidad es ligeramente mayor que 1-.0007 = 99.93%.

Answer 3

Aquí hay un análisis rápido para mostrar el límite inferior de esa probabilidad, que no será exacto pero le dará una buena idea:

Piensa en cualquier pedazo de papel. La probabilidad de que sea recogido en un día determinado es 1/11, por lo que tendría que evitar ser recogido 100 veces para tener 0 selecciones en total. Esa probabilidad es 1 en 13781. Llamemos * no * a que se elija un fallo para una hoja de papel.

Ahora piense en esos 11 pedazos de papel. Para fallar en la forma en que lo describe, debe tener 0 fallas (de obtener al menos 1 éxito en 100 pruebas) en 11 pruebas. Eso ocurre 1 de cada 1253 veces, o menos del 0.01% del tiempo.

¿Por qué esto no es exacto? La primera etapa ignora el hecho de que, si (por ejemplo) se escoge el papel n. ° 1, aumenta la probabilidad de que se recojan los papeles 2 a 11. La probabilidad real de que obtenga los 11 elegidos al menos una vez es algo * mayor * que 1252/1253, que (como se señaló anteriormente) ya es superior al 99.9%.

Answer 4

Este es el conocido problema del colector de cupones cuya distribución de probabilidad se da en la distribución de probabilidad en el problema del colector de cupones.

Usando esto, vemos que la posibilidad de que tome más de 100 intentos es [matemática] \ frac {\ matemática {S} _ {100} ^ {(11)} 11!} {11 ^ {100}} [/ matemática] , donde [math] \ mathcal {S} _ {100} ^ {(11)} [/ math] es el número de Stirling del segundo tipo.

Resolví esto al 99.92%, similar a la respuesta de Michael.