¿Son mis cálculos correctos para este límite [matemáticas] \ lim_ {x \ to- \ infty} (\ sqrt {x ^ 2 + 3x} – \ sqrt {x ^ 2 +1}) [/ matemáticas]?

Answer 1

Has cometido algunos errores:

En la línea 4, multiplica por [matemáticas] \ frac {\ sqrt {t ^ 2 – 3x}} {\ sqrt {t ^ 2 + 3x}} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {\ sqrt {t ^ 2 -1}} {\ sqrt {t ^ 2 + 1}} [/ math].

En la línea 5, asume [math] \ sqrt {t ^ 2 + 3x} \ sqrt {t ^ 2 – 3x} = t ^ 2 – 3x [/ math] que no es cierto.

Luego, en la línea 6, escribe [matemáticas] (t ^ 2 -3x) = t ^ 2 (1 – \ frac {3} {x}) [/ matemáticas] (etc.)

Aquí hay una posible solución:
[matemáticas] \ begin {align} \ lim_ {x \ to- \ infty} {\ sqrt {x ^ 2 + 3x} – \ sqrt {x ^ 2 + 1}} & = \ cr \ lim_ {x \ to- \ infty} {(\ sqrt {x ^ 2 + 3x} – \ sqrt {x ^ 2 + 1}) \ frac {(\ sqrt {x ^ 2 + 3x} + \ sqrt {x ^ 2 + 1})} {(\ sqrt {x ^ 2 + 3x} + \ sqrt {x ^ 2 + 1})}} & = \ cr \ lim_ {x \ to- \ infty} {\ frac {\ sqrt {x ^ 2 + 3x } ^ 2 – \ sqrt {x ^ 2 + 1} ^ 2} {\ sqrt {x ^ 2 + 3x} + \ sqrt {x ^ 2 + 1}}} & = \ cr \ lim_ {x \ to- \ infty} {\ frac {x ^ 2 + 3x – x ^ 2 – 1} {\ sqrt {x ^ 2 + 3x} + \ sqrt {x ^ 2 + 1}}} & = \ cr \ lim_ {x \ to – \ infty} {\ frac {3x – 1} {\ sqrt {x ^ 2 + 3x} + \ sqrt {x ^ 2 + 1}}} & = \ cr \ lim_ {x \ to- \ infty} {\ frac {x (3 – \ frac {1} {x})} {\ sqrt {x ^ 2 (1 + \ frac {3} {x})} + \ sqrt {x ^ 2 (1 + \ frac {1 } {x ^ 2})}}} & = \ cr \ lim_ {x \ to- \ infty} {\ frac {x (3 – \ frac {1} {x})} {| x | \ sqrt {1 + \ frac {3} {x}} + | x | \ sqrt {1 + \ frac {1} {x ^ 2}}}} & = \ cr \ lim_ {x \ to- \ infty} {\ frac { x (3 – \ frac {1} {x})} {| x | (\ sqrt {1 + \ frac {3} {x}} + \ sqrt {1 + \ frac {1} {x ^ 2}} )}} & = \ cr \ lim_ {x \ to- \ infty} {\ frac {x (3 – \ frac {1} {x})} {- x (\ sqrt {1 + \ frac {3} { x}} + \ sqrt {1 + \ frac {1} {x ^ 2}})}} & = \ cr \ lim_ {x \ to- \ infty} – {\ frac {3 – \ frac {1} { X}}{\ sqrt {1 + \ frac {3} {x}} + \ sqrt {1 + \ frac {1} {x ^ 2}}}} & = – \ frac {3} {2} \ end {align} [/ matemáticas]

Answer 2

Recibo una respuesta de [math] \ displaystyle \ color {red} {-} \ frac32 [/ math].

[matemáticas] \ begin {align} \ lim_ {x \ to- \ infty} \ sqrt {x ^ 2 + 3x} – \ sqrt {x ^ 2 + 1} & =
\ sqrt {x ^ 2} \ sqrt {1+ \ frac {3} {x}} – \ sqrt {x ^ 2} \ sqrt {1+ \ frac {1} {x ^ 2}} \ cr
& = | x | \ sqrt {1+ \ frac {3} {x}} – | x | \ sqrt {1+ \ frac {1} {x ^ 2}} \ quad \ text {Valores absolutos: la raíz cuadrada es positivo} \ cr
& = | x | \ left (1+ \ frac {3} {2x} + \ ldots \ right) – | x | \ left (1+ \ frac {1} {2x ^ 2} + \ ldots \ right) \ quad \ text {Expansión binomial usada en las raíces cuadradas} \ cr
& = | x | \ left [\ left (1+ \ frac {3} {2x} + \ ldots \ right) – \ left (1+ \ frac {1} {2x ^ 2} + \ ldots \ right) \ derecha] \ cr
& = | x | \ left [1+ \ frac {3} {2x} + \ ldots-1- \ frac {1} {2x ^ 2} – \ ldots \ right] \ cr
& = – x \ left [\ frac {3} {2x} + \ ldots \ right] \ qquad \ text {Nota: valor absoluto de} x \ to- \ infty = -x \ cr
& = – \ frac {3x} {2x} – \ ldots \ cr
& \ to- \ frac32
\ end {align} [/ math]