Podrían tener ideas diferentes sobre el infinito, el teorema de Godel, la linealidad y el tiempo, y contar, por mencionar algunos.
Sin experiencia de matemáticos ET, no tenemos mucho para seguir. Pero, echemos un vistazo a algunas de las formas en que las matemáticas ET podrían tomar diferentes enfoques de los nuestros, o ser difíciles de entender para nosotros.
Esto no es más que una exploración alegre de estas ideas, y si estimula algunos pensamientos interesantes, he hecho más que mi trabajo.
Tenga en cuenta que esta respuesta se estima en 46 páginas impresas. Ahora puede obtenerlo como libro de texto, si lo prefiere.
Matemáticas de una civilización extraterrestre: cómo podría ser
INFINITO, CONJUNTOS Y PARADOJAS LÓGICAS
Esta es un área de matemáticas (uso de conjuntos o infinito o ambos), que para nosotros está llena de paradojas, como la paradoja de Russell, varias paradojas de Cantor, la paradoja de Banach Tarski, etc.
Algunos dicen que las paradojas se han resuelto.
Sí, nuestras matemáticas son elegantes de alguna manera, y si sigues las reglas cuidadosamente no obtienes contradicciones (al menos hasta donde sabemos). Un matemático podría decir que todas las paradojas han sido “resueltas”.
Sin embargo, si observa esas reglas desde un punto de vista filosóficamente desapegado, puede tener una impresión diferente, que tal vez nos brinde algunas ideas sobre algunas formas en que las matemáticas ET podrían diferir de las nuestras.
Teoría de conjuntos moderna con
- La asombrosa imposibilidad de contar muchas cosas fundamentales en las matemáticas, como en el orden, en una lista interminable.
Sin embargo, todo lo “interesante” se puede contar. Las proporciones, decimales finitos, raíces cuadradas, en general, soluciones a polinomios y ecuaciones trigonométricas, todo eso se puede contar fácilmente.
Si no se ha encontrado con esto antes, vea Imposibilidad de contar la mayoría de los objetos matemáticos de Robert Walker (solo un breve resumen que hice, vinculando al material sobre el tema).
Nuestras matemáticas son tan “Heath Robinson”, al menos desde un punto de vista filosófico, ¿por qué esto necesita incluir tantas cosas que nunca necesita en la vida matemática cotidiana? Es un poco como esta máquina de pelar papas:
Tal vez ingenioso, hermoso incluso si te gustan esas cosas, pero ¿por qué tomarse tantas molestias para pelar las papas?
Tenemos todo este aparato de órdenes superiores de infinito, solo para incluir un montón de números oscuros que nadie necesita nunca como matemáticos que trabajan. Es decir, nunca necesitan ninguno de ellos como números individuales, solo necesitan saber, solo por razones lógicas, que existen tantas cosas incontables.
¿Por qué? Parece tan torpe
(eso es desde un punto de vista histórico y filosófico)
Quizás todos estos conjuntos infinitamente innumerables existen en algún sentido, pero si es así, ¿por qué estamos tan desconectados de ellos? ¿Por qué es que gran parte de las matemáticas está, en cierto sentido, siempre fuera de nuestro alcance?
Algunos matemáticos como Brouwer los eliminaron por completo, dejando solo infinito potencial. Algunos, como Van Dantzig, han ido aún más lejos y se han preguntado si los gustos de 10 ^ 10 ^ 10 son finitos .
Es aún más extraño cuando te enteras de la paradoja de Skolem: que si de alguna manera “detrás de escena”, reemplazas todos esos infinitos incontables por otras cosas finitas y contables (bastante intrincadas), los mismos resultados siguen siendo válidos para ellos.
Es decir, siempre y cuando las matemáticas se puedan expresar de manera directa utilizando un número finito de símbolos y las pruebas sean fáciles de verificar, las matemáticas de “primer orden”
Detalles técnicos para los lógicos : puede evitar la paradoja, técnicamente, con un lenguaje formal de “segundo orden” con innumerables símbolos distintos. Lo que realmente no resuelve el problema filosófico, por supuesto.
Cualquier matemático humano o extraterrestre solo podrá distinguir un número (pequeño) finito de símbolos entre sí. Es un problema general para cualquier lógica de orden superior: necesita una teoría de prueba antes de que los matemáticos puedan usarla en la práctica, y cuando lo hace, la paradoja emerge nuevamente. Lógica de segundo orden – resultados metalogicos
Un ET podría reinterpretar nuestras matemáticas de esta manera y sus teoremas coincidirían con los nuestros en cada detalle.
Quizás la forma en que hacemos matemáticas aquí en la Tierra es universal y todos los extraterrestres lo hacen de esta manera. Pero estas posibilidades sugieren otras posibilidades.
- ¿Seguirían los extraterrestres el enfoque habitual de los matemáticos humanos: que la mayoría de los números y las entidades matemáticas no pueden contarse?
- ¿O tiene otros puntos de vista sobre el infinito, como algunos matemáticos humanos, tal vez muy práctico “constructivo” en su enfoque de las matemáticas, por ejemplo, para que no surja la pregunta (más sobre eso más adelante)?
- O bien, reinterprete todas nuestras matemáticas de una manera abstracta compleja, como en la paradoja de Skolem, pero para ellos no es una paradoja, ¿cómo piensan acerca de las matemáticas?
- ¿O la pregunta simplemente no surge para ellos por alguna otra razón que aún no hemos pensado, o tiene algún otro significado para ellos?
- ¿O, como nosotros, tenemos muchos puntos de vista sobre el tema? ¿Un debate filosófico interminable que ha durado millones de años?
- ¿Podrían tener alguna otra opinión sobre la cuestión en la que no hemos pensado?
Hipótesis continua: ¿por qué nuestras matemáticas dicen que nunca podemos saber si hay otros órdenes de infinito entre el número de razones o números enteros y el número de decimales infinitos como pi?
Axioma de elección: dados infinitos pares de zapatos, es fácil elegir uno de cada uno; por ejemplo, elija el zapato izquierdo cada vez.
Pero para los calcetines indistinguibles, ¿es posible elegir uno de cada par?
Howard Rheingold pintó zapatos (foto de Hoi Ito)
Cuando tienes un equivalente matemático de infinitos pares de zapatos, no hay problema para elegir uno de cada uno. Es fácil, por ejemplo, simplemente elija el izquierdo de cada par.
Pero se hace mucho más difícil hacer frente a los equivalentes matemáticos de infinitos pares de calcetines.
Esto se debe a que son idénticos entre sí (puede intercambiar los calcetines izquierdo y derecho y no notar que algo ha cambiado). Nuestras matemáticas no nos permiten elegir uno de cada uno, a menos que agreguemos un axioma adicional, el axioma de elección.
Parece un axioma obvio, incluso inocuo: que si tienes infinitos pares, puedes elegir un singleton de cada uno. Sin embargo, resulta que si lo agrega, esto conduce, no a inconsistencias del todo, sino a resultados tan extraños que parecen paradójicos para las mentes humanas.
Por ejemplo, una de las famosas consecuencias desconcertantes: le permite dividir una esfera en un pequeño número de “piezas” geométricas y combinarlas para formar dos esferas del mismo volumen que el original, sin espacios.
Paradoja de Banach-Tarski
Si lo acepta, terminará con una matemática que es más poderosa, pero demostremos estos resultados poco intuitivos, como que es posible diseccionar una esfera geométricamente en un pequeño número de “piezas” (discontinuas pero “rígidas”) y volver -montarlo para hacer dos esferas del mismo volumen, sin espacios.
Como otro ejemplo, le permite llenar el espacio 3D por completo con círculos de radio 1, sin que ninguno de ellos se cruce, pero sin espacios, una especie de cota de malla de relleno de espacio 3D. Nuevamente, la mayoría encontraría eso paradójico …
¿Por qué este axioma sigue apareciendo en matemáticas (desde un punto de vista filosófico) ¿Y deberíamos usarlo? ¿O es demasiado poderoso ya que nos permite demostrar resultados aparentemente paradójicos?
¿Por qué es importante, ya que en la práctica nadie puede elegir un número infinito de cosas en el mundo real? Nadie tiene nunca un número infinito de pares de calcetines, ni de nada. Entonces, ¿por qué los matemáticos necesitan pensar tanto en sus equivalentes matemáticos?
¿Usarían los extraterrestres el axioma de elección? Si es así, ¿qué opinan de sus resultados paradójicos? ¿O no es siquiera un problema para ellos por alguna razón?
Las reglas arbitrarias que utilizamos para mantener las matemáticas consistentes.
Por ejemplo, en una de las formas más populares de crear una base lógica para las matemáticas, ZF, los conjuntos grandes se denominan “clases” y una clase no puede ser miembro de un conjunto.
No hay una buena razón matemática para esto. Es solo un “error”: tenemos que hacerlo o terminamos con una teoría inconsistente.
Lo haces solo porque, si no sigues las reglas que se han elaborado y simplemente “sigues tus intuiciones” sobre los conjuntos, terminas con resultados contradictorios y paradojas. Paradojas irresolubles genuinas.
La más famosa, la paradoja de Russell (más sobre esto más adelante en esta página).
(Nota técnica: en realidad, puede tener que trabajar con clases indirectamente en ZF, ya que sus axiomas se refieren solo a conjuntos: su teoría de clases se puede axiomatizar utilizando la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel)
Todo esto es realmente un poco un error (quiero decir los axiomas) visto de manera desapasionada con el sombrero de su filósofo puesto en lugar de con el sombrero de su matemático puesto.
Cuando inventa un sistema de axiomas radicalmente nuevo, no es suficiente crear axiomas que se vean bien y funcionen bien juntos, porque eso podría llevarlo directamente a una paradoja como le sucedió a Frege. El sistema puede parecer perfecto para sus intuiciones matemáticas, pero eso no es suficiente. Tienes que ir un paso más allá, generalmente, demostrando una consistencia relativa con ZF o alguna otra teoría establecida.
Según el teorema de Gödel, sabes que no puedes probar que tu nuevo sistema de axiomas es consistente. Pero lo que puede hacer es demostrar que es “tan bueno como ZF”. Puede probar que si fallara, esa falla también reduciría ZF, lo que generalmente se considera lo suficientemente bueno como para establecerlo como una teoría correcta en cuanto a la consistencia.
Parece funcionar bien y es hermoso a su manera. Las matemáticas dentro del sistema pueden ser elegantes, incluso encantadoras. ¿Pero es esto realmente lo mejor que podemos hacer?
Y si es o no, ¿es una forma tan obvia de proceder que los extraterrestres tendrían que terminar con el mismo sistema, con las mismas ideas matemáticas y filosóficas que nosotros?
¿Se les ocurrirían los mismos “kludges”?
O, ¿podrían llegar a algo diferente?
¿Y SI LOS MATEMÁTICOS ENCUENTRAN OTRO CAMINO?
No estoy diciendo en absoluto aquí que las matemáticas ET tienen que ser “mejores” que la forma en que hacemos las matemáticas. Simplemente, ¿es posible que haya ido en una dirección diferente en algún momento?
- Primero, por supuesto, quizás todas las matemáticas ET son idénticas en todos los aspectos a nuestras matemáticas, o generalmente similares en la forma en que maneja el infinito y las diversas paradojas. ¿Quizás esta forma “retorcida” de hacer las cosas es la única forma en que alguien puede proceder en esta área?
- Quizás, sin embargo, hay muchas formas muy diferentes de hacerlo y solo tenemos una de ellas
- Quizás somos los extraños con un sistema torpe porque de alguna manera, como humanos, hemos extrañado ver algunas ideas realmente simples que parecen obvias para la mayoría de los extraterrestres inteligentes.
- Quizás incluso, no puedo descartar esta posibilidad también, que entre todas estas ideas, en algún lugar, nosotros somos los que tenemos una visión única de nosotros mismos que otros extraterrestres se han perdido, y sus sistemas son más torpes que los nuestros.
Estas son solo posibilidades interesantes para ayudarnos a pensar en todo. Al igual que la tormenta de ideas, es un “¿Qué pasaría si”? No veo cómo podría atribuir probabilidades a nada de esto.
EL TEOREMA DE GÖDEL
El teorema de Gödel también es un resultado bastante extraño, especialmente si se entiende en el contexto del programa de Hilbert para proporcionar una base unificada, consistente y firme para todas las matemáticas que fallaron.
El programa de Hilbert falló cuando Gödel demostró su sorprendente resultado, lo que sorprendió a los lógicos de su época (junto con Church y Turing, quienes probaron resultados relacionados casi al mismo tiempo).
Mostró que si alguna vez demuestras que es consistente, entonces sabes que has hecho algo mal porque eso significa que es inconsistente.
Entonces, ¿qué pensarían de eso?
Bien podrían tener una inclinación diferente sobre el teorema de Gödel. Creo que podría significar algo diferente para ellos o podría tener otros resultados allí en los que no hemos pensado.
Esto depende de cuán universal o limitado creas que es la matemática humana.
Cuando miro la historia de las matemáticas (más sobre eso más adelante), veo que los humanos a menudo pierden ideas que luego parecen obvias, durante siglos. No estoy seguro de que ese proceso haya terminado. Quizás haya otras ideas futuras “obvias” que aún no hemos encontrado.
MATEMÁTICAS INCONSISTENTES
O bien, podrían saber que algunos de nuestros sistemas de axiomas son realmente inconsistentes. Después de todo, aunque generalmente se cree que son consistentes, no hemos demostrado que ninguno de nuestros sistemas de axiomas más potentes sean consistentes, y no pueden, debido al teorema de Gödel.
También podrían usar la lógica paraconsistente mucho más extensamente que nosotros y no preocuparse por las inconsistencias en la forma en que lo hacemos.
“Me atrevo a decir que no has tenido mucha práctica”, dijo la Reina. ‘Cuando tenía tu edad, siempre lo hacía durante media hora al día. ¿Por qué, a veces he creído hasta seis cosas imposibles antes del desayuno?
Lewis Carroll – la Reina Blanca en A través del espejo.
Podrían funcionar felizmente con sistemas matemáticos en los que una declaración y su negación son demostrables. En la lógica normal, entonces cualquier cosa se desprende de una contradicción, por lo que tales teorías son inútiles, pero en la lógica paraconsistente, entonces no se aplica lo mismo y puede funcionar bien con una declaración y su negación simultáneamente.
OTROS Y COMO MATEMÁTICAS QUE TENEMOS YA – RESULTADOS DE CÁLCULO PROPORCIONADOS CON INFINITESIMALES
Aquí un infinitesimal es una cantidad que no es cero y, sin embargo, es más pequeña que el recíproco de cualquier número entero positivo normal. Entonces, más pequeño que 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, … 1/1000, 1/10 ^ 10, más pequeño que cualquiera de esos, pero no cero. Es difícil hacer que esta idea sea coherente.
Pero también es difícil hacer que las ideas de secuencias convergentes sean coherentes también, y el método del “épsilon delta” más utilizado en el cálculo históricamente tardó varios siglos en desarrollarse. La idea fundamental se remonta a Bolzano en 1817, la definición de límite (ε, δ)
No explicaré cómo funciona (puede consultar la definición de límite (ε, δ)), pero si ha realizado un cálculo riguroso, por ejemplo, en la universidad, probablemente haya visto este diagrama.
Los matemáticos requirieron un gran esfuerzo antes de que tuvieran una forma razonablemente rigurosa de hacer cálculos, y aun así, durante el resto del siglo XIX encontraron muchos “casos salvajes” cosas extrañas que les resultó realmente difícil de estudiar, lo que finalmente llevó a a las ideas de Cantor y a las paradojas que ya hemos conocido, a fines del C19 y principios del C20.
Robinson demostró que puede obtener los mismos resultados de cálculo con infinitesimales que con secuencias convergentes ordinarias. Sus pruebas son, en general, más simples y más elegantes también (una vez que tienes los infinitesimales).
Vopenka en Praga desarrolló una “Teoría de conjuntos alternativos” que inicia las matemáticas de manera diferente con respecto a las ideas del infinito.
Detalles de las ideas de Vopenka: parte de una idea básica de un “semiset” que, en cierto sentido, no tiene límites, pero se encuentra dentro de un conjunto que, en todos los demás aspectos, es un conjunto finito normal. Puede llevar un tiempo acostumbrarse a esta idea, pero también lo hicieron muchas de las ideas del ZFC estándar. Una vez que lo entiendes, entonces él y los otros axiomas pueden sostenerse solos como una teoría por derecho propio. Él demostró que su teoría es consistente si ZFC lo es. Pero si los extraterrestres desarrollaron AST primero, entonces lo harían al revés y tendrían AST como su teoría preestablecida que se considera consistente, y luego llegarían a ZF.
No quiero entrar en demasiados detalles aquí: podría escribir un artículo completo sobre sus ideas (fue mi tema especializado para estudiar a nivel de posgrado, la base para la investigación que estaba haciendo yo mismo) durante algunos años su libro sobre AST estaba casi siempre a mi lado mientras trabajaba).
Lo principal a tener en cuenta es que no depende de ZF como la teoría de Robinson. Y no existe una “transformación en estrella” para transformar automática y fácilmente los resultados sobre AST en resultados formulados de manera idéntica en ZF y viceversa. AST requiere que todo se vuelva a construir desde cero, a diferencia del trabajo de Robinson.
Con sus ideas, la idea de un infinitesimal es mucho más fácil de hacer coherente, y se vuelve más natural como una forma de desarrollar el cálculo que la idea de una secuencia convergente, y brinda una forma de desarrollar las matemáticas desde cero donde podría obtener los teoremas de tipo infinitesimal probados antes que los teoremas de secuencia convergente.
Entonces, eso podría ser un enfoque excéntrico en todas partes de la galaxia.
O podría ser que algunos extraterrestres lo tomen como base para las matemáticas y vean nuestro enfoque como excéntrico. Podrían probar resultados de cálculo con infinitesimales, y tratar el método del “épsilon delta” como una alternativa inusual que pocos usan en la práctica, lo contrario de nuestra sociedad de matemáticas.
Eso es solo una pista pero suficiente para mostrar que puede haber otras formas de verlo. Si hubieran desarrollado gradualmente AST en su equivalente de nuestro C19 y C20 en lugar de ZF, entonces podrían encontrar nuestro ZF extraño.
Es poco probable que AST se convierta en la base de las matemáticas ahora, y no es el objetivo de Vopenka hacerlo hasta donde yo sé. Pero, si sucedió primero antes de ZF, en una civilización ET matemática, ¿quién sabe?
NUESTROS FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS PODRÍAN SER SÓLO EL HILO HISTÓRICO QUE REGRESA A LOS ORÍGENES DEL CÁLCULO
Nuestras ideas actuales podrían remontarse a algún incidente histórico en la historia de las matemáticas. P.ej. tal vez si hubiéramos favorecido más el enfoque de Leibnitz para el cálculo, en lugar del Newtoniano, ambos estaban incompletos y tenían defectos, pero Leibnitz pensó mucho más en términos de algo como los infinitesimales modernos, tal vez habríamos terminado con algo más como AST cuando finalmente se formalizó mejor.
Existen otras ideas que también podrían usarse como base, solo mencionando AST como una de las muchas ideas alternativas de matemáticas fundamentales.
MATEMÁTICAS SIN INFINITO
Los extraterrestres también podrían ser puramente finitistas o intuicionistas en su razonamiento. Si es así, podrían no hacer uso de diferentes órdenes de infinito en absoluto. Esto trata con muchas pero no todas las características desconcertantes de las matemáticas modernas.
Todavía tendrían algunas paradojas de la teoría de conjuntos, como la paradoja de Russell: las matemáticas intuitivas o finitistas no lo evitan.
Ver intuicionismo e infinito
DIFERENTES MÉTODOS DE DEDUCCIÓN LÓGICA
Podrían hacer deducciones matemáticas de una manera diferente a la nuestra.
En realidad, los matemáticos humanos han explorado muchos métodos de deducción lógica, ver:
- lógica lineal
- lógica cuántica
- matemática constructiva
Quizás los extraterrestres han ideado otros métodos de deducción lógica que aún no hemos pensado.
Criaturas de lógica pura
Esta es otra idea. Al leer estas diversas ideas, tenga en cuenta que no estoy tratando de pintar una imagen de una sola matemática ET consistente. Pero más bien muchas direcciones diferentes que sus matemáticas podrían seguir.
Supongamos que nuestros extraterrestres son delfines nadando en mares cubiertos de hielo tipo Europa. No se puede ver el universo externo, no hay astronomía; para ellos, su mundo es un lugar relativamente simple. Solo paredes arriba y abajo. No hay mucho que desconcertar, no hay epiciclos, etc. Y tal vez no se necesita tecnología: no tenga fuego.
Seres como ese podrían pasar millones de años haciendo deducciones en pura lógica. Quizás para ellos, las matemáticas son una rama menor de la lógica.
Quines New Foundations es una teoría ideada por un lógico. Es una teoría interesante pero complicada ya que “no está bien fundada”.
El uso del símbolo habitual ∈ para “es miembro de” permite cadenas interminables de membresía:
… Xn ∈ xn-1 ∈… x3 ∈ x2 ∈ x1.
En parte por esta razón, no ha tenido éxito entre los matemáticos.
Los nuevos fundamentos de Quine podrían adaptar ETs lógicos a una T. O podrían idear algún otro sistema basado en una lógica que no hayamos pensado que esté aún más lejos de las ideas a las que la mayoría de los matemáticos están acostumbrados, debido a nuestra fijación en la necesidad de encontrar Una base para las matemáticas en nuestra lógica.
LA PARADOJA DE RUSSELL
Vale la pena describirlo en detalle porque utiliza ideas tan simples, pensaría que casi todos los extraterrestres lo encontrarían en su razonamiento.
Me gusta la forma en que se presenta esto en wikipedia, así que solo citaré el artículo sobre la paradoja de Russell
“Digamos que un conjunto es” anormal “si es un miembro de sí mismo, y” normal “de lo contrario. Por ejemplo, tome el conjunto de todos los cuadrados en el plano. Ese conjunto no es en sí mismo un cuadrado y, por lo tanto, no es un miembro del conjunto de todos los cuadrados. Por lo tanto, es “normal”. Por otro lado, si tomamos el conjunto complementario que contiene todos los no cuadrados, ese conjunto en sí no es un cuadrado y, por lo tanto, debería ser uno de sus propios miembros. es “anormal”
Ahora consideramos el conjunto de todos los conjuntos normales, R. Es imposible determinar si R es normal o anormal: si R fuera un conjunto normal, estaría contenido en el conjunto de conjuntos normales (en sí mismo) y, por lo tanto, sería anormal; y si R fuera anormal, no estaría contenido en el conjunto de todos los conjuntos normales (en sí mismo) y, por lo tanto, sería normal. Esto lleva a la conclusión de que R no es ni normal ni anormal: la paradoja de Russell “.
Tan pronto como comience a pensar en términos de conceptos abstractos y la idea de un conjunto o colección de cosas, entonces la paradoja de Russell no está muy lejos.
Los matemáticos humanos no detectaron esta paradoja en nuestro pensamiento hasta 1901. Aunque está estrechamente relacionada con la antigua paradoja de Epiménides
La paradoja se descubrió cuando Frege se propuso hacer una axiomatización metódica, lógica y cuidadosa de toda la matemática, utilizando la teoría de conjuntos en su gran trabajo, el trabajo de su vida realmente, el Grundgesetze der Arithmetik
Gottlob Frege
Justo cuando el segundo volumen de su gran trabajo iba a imprimirse, recibió una carta de Bertrand Russell sobre su paradoja.
Él respondió:
“Su descubrimiento de la contradicción me causó la mayor sorpresa y, casi diría, consternación, ya que ha sacudido la base sobre la cual tenía la intención de construir aritmética”
¿Por qué si solo sigues tu nariz y axiomatizas todo cuidadosamente, entonces caes directamente en la paradoja de Russell, como lo hizo Frege?
¿Por qué, filosóficamente, es la ruta directa y más obvia la ruta equivocada?
No hay una resolución, excepto limitar nuestro razonamiento para evitar que suceda, sin una justificación matemática o filosófica realmente buena para hacerlo.
¿Es posible que algunos extraterrestres no encuentren la paradoja de Russell? Si es así, ¿por qué y cómo razonan? ¿O lo encuentras pero por alguna razón no lo encuentras paradójico? ¿O es una paradoja para todos los matemáticos ET?
MATEMÁTICAS SIN TIEMPO LINEAL
Más radicalmente que eso: los extraterrestres no necesariamente tienen una sensación de tiempo lineal como nosotros. Tenemos un sentido claro del pasado, presente y futuro. Y saber exactamente dónde estamos en ese flujo de tiempo. Pero algunos extraterrestres podrían vivir en un mundo en el que casi nada cambia día a día. Por lo tanto, no es necesario recordar cuándo sucedieron las cosas, pero puede ser muy importante saber dónde sucedieron.
Si es así, podrían tener una forma de ver el mundo que está basado en el espacio, con un tiempo ordenado linealmente, un concepto abstracto que les resulta muy difícil de entender. Me imagino, por ejemplo, si viven en los océanos debajo de la superficie de una luna helada como Europa, no tengo idea de que existe el resto del universo, no hay estaciones, nada excepto gradientes de temperatura y gradientes químicos, etc. Pueden tener memoria a largo plazo pero no hay memoria a corto plazo, tal como entendemos su mundo.
Después de todo en la relatividad especial, el tiempo juega un papel bastante extraño. No es tan fácil de entender en una sola secuencia de tiempo ordenada.
Quizás hay otras formas de pensar sobre el universo que comienzan desde una base más espacial, no es que no tengan idea del tiempo, sino que no lo ordenan de una manera estrictamente lineal. Qué otras formas de ordenar, podrían tener, no lo sé.
MATEMÁTICAS BASADAS EN UNA MECÁNICA CUÁNTICA TIPO FORMA DE EXPERIMENTAR EL MUNDO
O bien, utilice el tiempo lineal pero no puede experimentarlo directamente, por lo que es un concepto extraño y muy abstracto, mientras que al mismo tiempo puede encontrar otras ideas, por ejemplo, ideas de tipo mecánica cuántica más fáciles de entender.
Quizás piense en términos de superposiciones de muchos estados a la vez, y colapso de incertidumbres. Tal vez sus matemáticas reflejarían de alguna manera eso, sabrían qué es un ordenamiento lineal, pero no serían como nosotros, donde casi todos los espacios matemáticos más interesantes se basan en nociones de distancia y ordenamientos lineales a lo largo de las líneas, tal vez no tienen geometría ya sea como la tenemos pero en alguna otra forma no basada en los axiomas de Euclides.
MATEMÁTICAS CON EL CONTEO COMO CONCEPTO EXTREMADAMENTE ABSTRACTO DE USO RÁPIDO Y DIFÍCIL DE ENTENDER
Y de hecho (esto no es necesariamente el mismo ETS, estos quizás) entidades que viven como nubes de gas o películas como estromatolitos, colonias de microbios que se fusionan y separan y forman mayor o menor inteligencia dependiendo de cuántos microbios individuales estén involucrados, algo así como esponjas , pueden colarlos a través de un tamiz y se vuelven a unir como si nada hubiera pasado): podrían ser tan fundamentales como diferentes ideas sobre el conteo.
Para criaturas como esa, la topología podría ser fundamental para sus matemáticas, todo continuo, sin formas discretas. Podrían pensar naturalmente en términos de conjuntos abiertos y cerrados (regiones con o sin límite), o algunas otras primitivas topológicas en las que aún no hemos pensado.
Los teoremas complejos avanzados en topología serían un juego de niños para ellos como 1 2 3, mientras que contar sería una idea increíblemente abstracta que podrían formular matemáticamente pero que tal vez les resulte difícil de entender.
MATEMÁTICAS CON ESPACIOS DE DEDUCCIÓN EXTREMADAMENTE CORTO
Quizás no puedan hacer deducciones largas como nosotros. Si apenas han ordenado la memoria a corto plazo (recuerden todo perfectamente si lo desean pero no pueden ordenarla a tiempo durante más de unos segundos), entonces la idea misma de cadenas de deducción lógica puede ser ajena a ellos, para cualquier cosa Más de unos pocos pasos de deducción.
En cambio, podrían confiar ampliamente en ver las cosas de un vistazo. Por ejemplo, con un pequeño número de cosas, tenemos la capacidad de ver cuántas hay de un vistazo, sin necesidad de contarlas como 1, 2, 3.
Ver Subitizing
Cuando está familiarizado con la geometría, a menudo puede ver teoremas geométricos de un vistazo.
Si está acostumbrado a las ideas geométricas, puede ver de un vistazo que ambos cuadrados tienen el mismo área total y que, por lo tanto, los dos cuadrados blancos de la derecha se suman al mismo área total que el cuadrado blanco único del izquierda, y vea también que esta relación entre el área del cuadrado en la diagonal y el cuadrado en los dos lados más cortos es válida para cualquier triángulo de ángulo recto. Este es el teorema de Pitágoras
Los matemáticos a menudo hablan de ver de repente una prueba de un teorema de un vistazo. Aquí está el profesor Roger Penrose hablando de uno de esos momentos:
Un colega (Ivor Robinson) había estado de visita desde los EE. UU. Y me estaba involucrando en una conversación voluble sobre un tema bastante diferente mientras caminábamos por la calle acercándome a mi oficina en Birkbeck College en Londres. La conversación se detuvo momentáneamente cuando cruzamos una calle lateral, y se reanudó nuevamente al otro lado. ¡Evidentemente, durante esos pocos momentos, se me ocurrió una idea, pero luego la conversación que siguió se me borró de la cabeza!
Más tarde en el día, después de que mi colega se fue, regresé a mi oficina. Recuerdo haber tenido un extraño sentimiento de euforia que no podía explicar. Comencé a recordar en mi mente todas las cosas que me habían sucedido durante el día, en un intento por descubrir qué había causado esta euforia. Después de eliminar numerosas posibilidades inadecuadas, finalmente me acordé de la idea que había tenido al cruzar la calle, ¡una idea que me había eufórico momentáneamente al proporcionar la solución al problema que había estado dando vueltas en la parte posterior de mi cabeza! Aparentemente, era el criterio necesario que posteriormente llamé “superficie atrapada” y luego no me llevó mucho tiempo formar el bosquejo de una prueba del teorema que había estado buscando. Aun así, pasó un tiempo antes de que la prueba se formulara de una manera completamente rigurosa, pero la idea que tuve al cruzar la calle había sido la clave.
La nueva mente del emperador
¿Qué pasa si los extraterrestres solo pueden hacer matemáticas de esa manera, como momentos repentinos de comprensión?
Si también tienen la topología como fundamental (cosas como la intersección de conjuntos y varias distinciones de tipos de conjuntos y cómo pueden interactuar), sus teoremas podrían no usar líneas rectas y círculos.
En cambio, tal vez sus teoremas avanzados consisten en una enorme pintura de manchas tipo Jackson Pollock que interactúan de formas complejas, que pueden ver de un vistazo, pero para nosotros es casi imposible de entender.
Quizás un ET pueda dibujar algo como esto, mostrárnoslo y decir “Estas son las matemáticas que usamos para construir nuestras naves espaciales”, y esperar que comprendamos de un vistazo, y no tenga otra forma de presentar sus matemáticas.
Jackson Pollock – biografía, pinturas, citas de Jackson Pollock
Los teoremas de prueba para ellos podrían consistir en pasar horas, incluso días, pintando patrones intrincados de manchas en un lienzo grande hasta que puedan retroceder y mirar lo que pintaron, y decir “¡Lo veo ahora!”.
MATEMÁTICAS COMO REVISIÓN REPENTINA AYUDADA POR PRUEBA
Menos radical que eso, podemos imaginar que los matemáticos extraterrestres podrían tener métodos de prueba normales, como nosotros, pero un grado mucho mayor de percepción repentina. ¿Y si todos son ramanuyanos?
Después de que todos los matemáticos humanos, en la práctica, no hacen mucho uso de la prueba formal. Trabajamos en intuición matemática la mayor parte del tiempo, deducciones informales.
Incluso las pruebas más detalladas de un matemático que trabaja no contarían como una prueba completamente rigurosa en la lógica formal de primer orden. Sin embargo, no tenemos dudas de que estas pruebas son correctas.
Entonces, aunque sus matemáticas pueden estar basadas en métodos de deducción similares a los nuestros, pueden dar tantos saltos intuitivos que es realmente difícil para un matemático humano entender lo que está sucediendo.
El matemático indio Srinivasa Ramanujan creó páginas de resultados matemáticos que registró en sus cuadernos, sin pruebas matemáticas. Eso se debe en parte a que el papel era caro, por lo que hizo su trabajo rudo en la pizarra y luego solo registró las respuestas en sus cuadernos .
Aún así, también tenía un notable nivel de intuición matemática e intuía muchos resultados que no pudo probar rigurosamente, la mayoría de los cuales fueron probados más tarde por otros matemáticos. Sus cuadernos, que estaban destinados a su uso personal, contienen algunos errores, pero muy pocos, casi todas sus intrincadas y sorprendentes fórmulas y resultados son correctos. Muchos de ellos estaban obteniendo nuevos resultados sorprendentes en matemáticas.
Un hindú devoto, atribuyó sus resultados a la inspiración de la diosa Namagiri Thayar , y también vio visiones de algunas de las fórmulas en sus sueños.
“Mientras dormía, tuve una experiencia inusual. Había una pantalla roja formada por el flujo de sangre, por así decirlo. Estaba observándola. De repente, una mano comenzó a escribir en la pantalla. Me puse toda la atención. Esa mano escribió una serie de integrales elípticas. Se me pegaron a la mente. Tan pronto como desperté, los comprometí a escribir “.
Quizás esto también podría darnos una idea de cómo serían las matemáticas ET si dependieran de una comprensión repentina y de un alto nivel de intuición matemática, con solo una pequeña cantidad de prueba deductiva.
Página de los cuadernos de Ramanujan que describe su “Master Theorem”
pdfs de sus cuadernos originales en la parte inferior de esta página , y escaneos tipo fotocopia aquí
Sus comunicaciones podrían estar llenas de densas hojas de ecuaciones, y si todos son ramanuyanos, solo una sola línea en una sola página, que pueden ver que es verdadera al instante, requiere cientos o miles de líneas de nuestros métodos de prueba intuitivos más torpes .
MATEMÁTICAS FRACTALES
También podrían pensar en términos de fractales, ver fractales a su alrededor y clasificar fractales, y pensar en todo lo demás en términos de estos como sus primitivos.
No sé cómo funcionaría, por lo que sé, no tenemos matemáticas como esta, pero podrían encontrar fractales como este más fáciles de entender que nuestros triángulos, cuadrados y círculos. Y trata de aproximar un círculo como un fractal.
El fractal, que se muestra aquí, es un ejemplo de un Mandelbulb, un tipo de 3D descubierto recientemente basado en el Mandelbox, otro fractal 3D descubierto en 2010 por Tom Lowe.
ETS CON GEOMETRÍA DISCRETA
Cuando piense en geometría, probablemente tenga en mente la geometría continua con ideas de líneas rectas y puntos.
Sin embargo, un área menos conocida de las matemáticas es la geometría del taxi. Para los humanos, esto es principalmente un área de interés para las matemáticas recreativas. Puede usar cuadrados, hexágonos o triángulos como bloques de construcción.
Pero también es la geometría utilizada para autómatas celulares, y para simulaciones discretas del flujo de agua y muchos modelos de computadora.
Geometría de taxi: similar a las rutas recorridas por los taxis en las ciudades modernas tipo red de cuadrícula. Los tres caminos que se muestran en rojo, azul y amarillo tienen la misma longitud. La trayectoria verde muestra la distancia en una geometría continua.
Entonces esa es otra posibilidad. Los extraterrestres podrían hacer un uso mucho más extenso de geometrías discretas, y apenas podrían hacer uso de la geometría continua.
No es que nuestro espacio sea continuo de ninguna manera obvia esencial. No podemos medir nada con una precisión infinita. De modo que el espacio continuo es tan aproximado como un espacio discreto. Pero por alguna razón, los matemáticos humanos se han decidido por una geometría continua como la forma “predeterminada” de pensar sobre el espacio.
La geometría continua tiene las ventajas de la isotropía: es difícil hacer una geometría discreta isotrópica (por ejemplo, una sin “dirección preferida” para un viaje rápido). Pero eso nuevamente puede no ser imposible (en realidad escribí un artículo sobre geometrías discretas isotrópicas, podría intentar publicarlo, pero aún no he intentado publicarlo, de todos modos, descubrí que hay técnicas que puede usar para crear discretos isotrópicos geometrías, es decir, isotrópicas en el límite a medida que las células se hacen más y más pequeñas. Tomó un poco de pensamiento lateral, pero una vez que tuve la idea, no fue tan difícil, encontré dos formas diferentes de hacerlo, tal vez usted ¿Puedes pensar en los demás? Creo que la razón principal por la que no los estudiamos es porque nadie está tan interesado en ellos).
Otra forma es usar autómatas celulares de gas discretos. Existen soluciones exactas para las ecuaciones de difusión de gas y flujo de líquido incompresible en redes hexagonales. Esto le permite construir autómatas celulares que evolucionan de acuerdo con las reglas sobre vecinos más cercanos, que tienen cosas como expandir ondas circulares. Aquí hay un ejemplo de un autómata de gas.
¿Qué pasa si los extraterrestres lo consideran en términos de geometría discreta como su forma “predeterminada” de pensar sobre el espacio en el que viven, y a diferencia de nosotros, hacen toda su física usando geometrías discretas como esta?
Podrían tener geometría continua como un área recreativa de matemáticas similar a la geometría del taxi. De nuevo, la mayoría de los extraterrestres, posiblemente, tal vez ni siquiera hayan oído hablar de geometría continua.
No sé qué tan probable o posible es esto. Simplemente planteándolo como una posible idea para pensar, ¿es posible que los extraterrestres puedan tener geometría discreta en lugar de continua?
ETS CON MATEMÁTICAS COMPLEJAS, PERO SIN NÚMEROS
Todas las sociedades humanas modernas tienen números de alguna forma. Muchos sistemas de conteo diferentes, y algunos de ellos son ineficientes para contar números grandes, pero todos tienen números.
Muchas aves y animales también pueden “contar” hasta cierto punto .
Así que tendemos a pensar que el conteo será universal entre los extraterrestres. ¿Pero lo haría?
¿Qué pasa con un molde de limo inteligente? ¿O una criatura inteligente que vive en un océano tipo Europa y casi no tiene memoria a corto plazo? ¿El contar también les vendría naturalmente?
Podrían pensar en términos de ordenamientos lineales, por ejemplo. Y tal vez tenga primitivas geométricas continuas difusas, o conjuntos topológicamente equivalentes como sus primitivas, entienda todo en términos de topología en lugar de conjuntos discretos.
Puede recorrer un largo camino en algunas áreas de las matemáticas sin mencionar números o contar cosas. Seguramente tendrían algún equivalente, pero podría ser tan abstracto para ellos como los conjuntos abiertos y cerrados para la mayoría de nosotros. Podría ser que los extraterrestres no matemáticos ni siquiera conozcan los números, y en matemáticas, los usan solo en campos especializados particulares.
ETS QUE NO PUEDE AGREGAR
Otra posibilidad es que tienen números, pero no son buenos en aritmética, así que nuevamente, los números son cosas que usan raramente, porque les resulta difícil de entender.
Como Emma King, cosmóloga, “El matemático que no puede sumar”.
Tal vez todos son como ella, para ellos, la norma podría ser la discalula . Podríamos parecerles prodigios, como “calculadoras de rayos”.
(Por supuesto, también podría ser la otra forma en que los ET son todas calculadoras de rayos como la norma).
ETS SIN MATEMÁTICAS
¿Qué pasa si los extraterrestres no usan las matemáticas en absoluto, como disciplina formal al menos?
Después de todo, muchos humanos se las arreglan bien con muy poco uso de las matemáticas. Supongamos que hacen todo por ingeniería biológica y computación analógica, podrían tener un enfoque poético / artístico incluso para viajar entre estrellas.
Solo recientemente los matemáticos se han convertido en elementos comunes e importantes de la sociedad, no hace mucho tiempo, solo habría unos pocos matemáticos en todo un país. Quizás parte de la razón por la que tenemos tantos matemáticos hoy en día se debe al éxito de las matemáticas en tecnología.
Entonces, supongamos que los extraterrestres no necesitan matemáticas para construir máquinas complejas, incluso computadoras, pero de alguna manera, como los moldes de limo tal vez, pueden hacerlo instintivamente.
Puede que no sean tan matemáticos como los humanos. Sin embargo, lograr tanto o más tecnológicamente. O, de hecho, ¿qué pasa con las mentes colmena? ETs coloniales donde ningún individuo es inteligente, solo la comunidad en su conjunto. ¿Podrían contar?
Además, ¿cuán limitada es nuestra visión del rango de posibilidades para las ETI?
Tenemos muchos ejemplos en la Tierra: mohos de limo, hormigas, abejas, delfines, pájaros, etc. para usar como analogías para ETS, pero todos
- usa el mismo ADN
- misma bioquímica, mismos bloques de construcción
- todo evolucionó bajo 1 gravedad terrestre, una presión atmosférica, rango de temperatura limitado
- en la superficie de un planeta de una estrella enana amarilla tipo G con una luna grande, etc.
Por supuesto, solo podemos razonar por analogía de lo que sabemos.
Pero algunas vidas extraterrestres pueden ser radicalmente diferentes de alguna manera que aún no hemos imaginado en su biología fundamental o procesos vitales, y no se parecen mucho a ninguna de las criaturas que conocemos en la Tierra. Entonces, ¿qué podría hacer eso con sus matemáticas?
¿CÓMO SERÍAN LAS COMPUTADORAS PARA LOS ETS QUE CON NINGÚN USO NÚMEROS?
Este es un episodio de computación algo olvidado.
Si usaste la palabra “computadora” en 1950, esto es de lo que pensarían que estás hablando. No es una computadora mecánica programada tipo Babbage, más bien es una máquina analógica, no usa números internamente. Pase a 1.26 para ver la computadora en acción. Solo un minuto o dos.
A las 1:45 “Si miras dentro de una computadora, encuentras un conjunto impresionante de mecanismos básicos. Algunos de ellos se duplican muchas veces en una computadora”
Artículo de Wikipedia al respecto, range keeper .
Si no tienen idea de los números, o los números son conceptos muy abstractos para ellos, aún podrían tener computadoras analógicas como esta, ya que las computadoras se basan en conexiones analógicas directas entre las cosas y no necesitan usar números como tales.
También podrían continuar y desarrollar computadoras electrónicas analógicas, en lugar de las computadoras digitales basadas en números que tenemos. Tendrían muchos desafíos que enfrentar, pero luego las primeras computadoras digitales también lo hicieron.
Es difícil decir si una sociedad tecnológica como nosotros, que desarrolló computadoras analógicas en lugar de nuestras computadoras digitales, estaría más adelante que nosotros o detrás de nosotros.
Seguramente, en cualquier caso, podrían desarrollar una tecnología de computadora electrónica analógica de una forma u otra.
Aquí hay algunas cosas que estamos explorando como humanos, que también pueden indicar el camino a historias alternativas para otros extraterrestres.
- Aquí hay una investigación de 1998 sobre chips de computadora analógicos que usan principalmente hojas continuas de material sin circuitos, y algunas puertas lógicas difusas.
- Una predicción de que nuestros chips de computadora se volverán analógicos de todos modos en el futuro a medida que los chips se vuelvan tan pequeños que los transistores ya no puedan tratar con datos discretos
- Trabajo reciente en computadoras basadas en redes neuronales , es decir, redes neuronales analógicas, no las versiones digitales de ellas. En general, la ingeniería neuromórfica .
- Un proyecto de tres años, iniciado en marzo de 2013, para hacer computadoras a partir de moho limo, utilizando sus capacidades de computación analógica .
El último apunta a una forma bastante radical de que los extraterrestres podrían ser diferentes. Pueden ser moldes de limo, capaces de extruir partes de sí mismos para usarlos como dispositivos informáticos en máquinas.
Esto sugiere la posibilidad de que los extraterrestres tengan pocas matemáticas, o que tengan matemáticas pero no se basen en números, que bien podrían tener tecnología avanzada, incluidas las naves espaciales.
O puede que no estén tecnológicamente avanzados. Si no tienen una inclinación matemática, aún podrían ser grandes filósofos, artistas, poetas o músicos, y podrían haber vivido durante mucho tiempo civilizaciones no tecnológicas. Podría ser por inclinación o por una simple cuestión de que, por ejemplo, no tienen manos, tal vez como loros, torpes y poco fuertes, o como pulpos, viven en el mar, no es un lugar fácil para desarrollar tecnología. (sin fuego), o como los delfines, sin manos ni ninguna forma fácil de construir nada.
HUMANOS SIN MUCHAS MATEMÁTICAS POR COMPARACIÓN
Puede parecer un poco difícil imaginar que los extraterrestres, por ejemplo, sean incapaces de contar, o casi no tengan matemáticas que reconozcamos como tales. Como algunos de los otros respondedores han dicho: en todo el universo, dos pulpos más dos pulpos = cuatro pulpos. Entonces, ¿los pulpos ET no lo sabrían?
Pero, nosotros, los humanos mismos, logramos durante mucho tiempo, cientos de miles de años, con inteligencia moderna pero casi sin matemáticas.
Muchas cosas que para nosotros son conceptos elementales que enseñas a los niños, algunos de ellos incluso a niños muy pequeños, estaban más allá de las capacidades de los pensadores más avanzados del pasado.
Incluso:
- Notación posicional con ceros . Los babilonios tenían una notación de lugar primitiva, pero sin un cero final. Tenían base 60, pero si tuviéramos el mismo sistema para la base 10, podría distinguir 36 de 306 pero no podría distinguir 306 de 3060 (entendió lo que era por contexto). Ver notación posicional
- La idea de cero como un número en sí mismo – se remonta al siglo IX India 0 (número)
- Números negativos : la mayoría de las primeras civilizaciones los trataron como absurdos, y solo se usaron comúnmente después de la India del siglo VII para las deudas. Número negativo. Los matemáticos en el pasado reescribían ecuaciones para evitar la necesidad de usar los números negativos absurdos.
- Fracciones : nuestra idea moderna de que puede expresar la proporción de cualquier par de números, por ejemplo, 7/5 como fracción, es sorprendentemente reciente: durante mucho tiempo trabajaron con ellos de una manera torpe usando “Fracciones unitarias” – solo fracciones con 1 en la parte superior. Por ejemplo, 4/5 podría escribirse como 1/2 + 1/4 + 1/20 (o como 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/10, etc.). Ver Unidad de fracción y fracción (matemáticas),
- Solución de la cuadrática : una larga historia, originalmente muchos casos especiales y solo algunos podrían resolverse (se complican más por los casos especiales que necesita para evitar números negativos). Solución completa no hasta la ecuación cuadrática C16
- La solución del problema cúbico principal en el C16 ahora se considera algo bastante básico. Función cúbica
Y, sin duda, estos son humanos modernos.
Estás hablando de culturas enteras de personas inteligentes, ingeniosas, inteligentes y reflexivas que nunca pensaron en la idea de escribir una fracción como 4/5, sino que siempre la escribieron usando los gustos de 1/2 + 1/4 + 1 / 20 y expresiones similares, y tener que pasar por todo tipo de aros para multiplicarlos.
Durante siglos, culturas enteras que hicieron eso. Nadie en el mundo entero pensó en la idea de escribirlo como 4/5 hasta los tiempos modernos.
Me parece justo decir que si nos llevas a alguno de nosotros y nos vuelves a poner en cualquier lugar del mundo antes de decir alrededor de C7, incluso nuestros matemáticos y científicos más brillantes, entonces, si se criaron en C7, en cualquier parte del mundo, No entendería ninguno de esos conceptos. Tome a Albert Einstein o Paul Erdos o Roger Penrose o Stephen Hawkings, o Évariste Galois o Srinivasa Ramanujan o Isaac Newton, o cualquier persona que quiera nombrar a quien piense que es brillante en el área de Matemáticas o Física.
Si nacieran en el C7, casi con certeza no se darían con la idea de una relación, un número negativo o una notación posicional. Ni siquiera los gustos de Paul Erdos a menudo considerados por los matemáticos como el genio matemático más grande en los tiempos modernos.
Si nació en el siglo VII, Paul Erdos podría haber ideado una forma novedosa de resolver la ecuación cuadrática como resultado de su trabajo de la vida en matemáticas, o alguna nueva prueba de un resultado geométrico o algo así. Porque eso es lo que los matemáticos brillantes hicieron en aquel entonces.
Véase, por ejemplo, al-Khwarizm, que tenía seis capítulos dedicados a los seis tipos conocidos de ecuaciones cuadráticas (todos escritos para no usar números negativos ya que los matemáticos de su tiempo no los reconocieron como números válidos)
Aquí por cuadrados, quiere decir nuestra x ^ 2 y por raíces, nuestra x. Sus seis capítulos cubren:
- Cuadrados iguales a las raíces.
- Cuadrados iguales a números.
- Raíces iguales a los números.
- Cuadrados y raíces iguales a números, p. Ej. X ^ 2 + 10 x = 39.
- Cuadrados y números iguales a raíces, p. Ej. X ^ 2 + 21 = 10 x .
- Raíces y números iguales a cuadrados, p. Ej. 3 x + 4 = x ^ 2.
Si fueras un matemático brillante en 800 DC, este es el tipo de cosas que estudiarías como el trabajo de tu vida.
Ver ecuaciones cuadráticas, etc.
Estos diversos conceptos matemáticos son bastante difíciles de comprender incluso hoy en día para los niños pequeños. Si no ha tratado de enseñarles, y tal vez no recuerda su propia infancia con demasiada claridad, se sorprenderá de lo difícil que es para los niños pequeños obtener estas ideas. Pero no es tan sorprendente cuando descubres cuánto tiempo les tomó a los humanos desarrollar las ideas en primer lugar. Básicamente en nuestras escuelas intentamos adelantar a nuestros hijos a través de varios miles de años de desarrollo matemático humano en unos pocos años.
Por supuesto, tome esos matemáticos brillantes del pasado, por ejemplo, Arquímedes o al-Khwarizm, etc., si pudieran pasar el tiempo a nuestra cultura, podrían aprender nuestras matemáticas lo suficientemente rápido.
Luego podrían demostrar resultados en matemáticas avanzadas que ni siquiera podríamos comenzar a explicar a nuestros predecesores sin darles primero una educación moderna.
A veces me pregunto qué conceptos básicos simples podríamos estar perdiendo que nuestros descendientes puedan aprender de niños.
CONTEO SENCILLO PARA HUMANOS Y ETS
El conteo simple parece ser bastante fácil para los humanos. Es difícil decir qué matemáticas tuvimos hace un par de cientos de miles de años. Pero es muy probable que ya pudiéramos contar en ese entonces.
Los niños tienen que aprender a contar, no está “conectado”. Además, tenemos algunas culturas con sistemas que serían torpes para contar grandes números, por ejemplo, miles y más. Entonces, en algunas culturas, los humanos pueden no contar mucho antes de darse por vencidos.
Sin embargo, el simple acto de contar números es algo que comparten todas las culturas humanas.
Sin embargo, eso no significa que a todos los extraterrestres les resulte tan fácil contar como a los humanos. Después de todo, todavía tenemos que aprender a hacerlo, y un niño necesita bastante tiempo para dominar completamente el conteo.
Para algunos ETS, esos podrían ser conceptos tan avanzados como números negativos, razones, cero posicional y resolver la cuadrática eran para nosotros, o más.
En realidad, no es una cuestión de inteligencia, sino de lo que le parece “obvio” con sus antecedentes.
Entonces, todo dependería, no de su inteligencia intrínseca, sino de si es probable que tropiecen con esos conceptos y de si los necesitan para construir tecnología y naves espaciales.
Si la respuesta a ambas preguntas es No, si no es probable que tropiecen con ellas por accidente en su entorno, y no las necesite para construir naves espaciales (o no construir naves espaciales)
Entonces, creo que podría tener extraterrestres inteligentes con discalulia, o de hecho, tal vez sin ningún concepto de números.
¿CUÁN PROBABLE ES CUALQUIERA DE ESTO?
Puede ser que de un billón de ETs, solo haya uno que no pueda contar, o encuentre un resumen de conteo o no pueda contar lejos. O podríamos ser los niños geniales, de la galaxia y el universo, uno de los pocos con esta habilidad, como esos pocos niños que pueden sumar, multiplicar, raíces cuadradas, etc. para números con muchos dígitos en sus cabezas.
O que absolutamente todo puede contar. No estoy tratando de evaluar las probabilidades de estas cosas aquí. De hecho, no sé cómo alguien podría hacer eso. Simplemente buscando posibilidades conceptuales.
EN CIENCIA FICCIÓN
No se trata mucho en ciencia ficción. Pero hay algunas historias. ¿Has leído la historia de Ted Chiang, “Historia de tu vida”?
Cualquier sugerencia de otra buena ciencia. fi. historias que tratan la idea de los extraterrestres con matemáticas diferentes de la Tierra de manera intrínseca (más que una base diferente o un sistema de conteo que es común en ciencia ficción), digamos en los comentarios, y agregaré algunos de ellos aquí.
ESPERE ALGUNOS MOTIVOS PARA LA COMUNICACIÓN
Creo que es posible que las matemáticas ET puedan ser tan diferentes de las nuestras que es difícil comunicarse para empezar. Pero nos sorprendería si eventualmente no encontramos paralelos cercanos aquí y allá. Lo que podría estar contando. O puede ser topología. O podría ser el teorema de Godel. O podría ser mecánica cuántica. O podría ser la paradoja de Russell, o una teoría de conjuntos alternativa que solo utilizan una docena de personas en nuestra sociedad, o la lógica paraconsistente, o los fractales, eventualmente esperan que encontremos un área común de las matemáticas.
Luego, una vez que hayamos hecho eso, especialmente porque vivimos en el mismo universo, finalmente encontraríamos una forma de mapear casi todo en términos que podamos entender hasta cierto punto.
PERO NO PODRÍA ENCONTRAR SUS MATEMÁTICAS FÁCILES DE ENTENDER
Pero no estoy seguro de que las matemáticas nos resulten fáciles de entender de inmediato. Podría o no. Sin ninguna experiencia previa en matemáticas ET, creo que es difícil saberlo con certeza.
Es posible que haya algunas formas de pensar que involucrarían muchos tipos de “aha” de percepción antes de que los humanos puedan entender de qué se tratan. Después de todo, si miras la historia de las matemáticas humanas, muchas ideas que son comunes para nosotros ahora ni siquiera fueron pensadas durante siglos o milenios.
IDEAS EN NUESTRA HISTORIA QUE ENCONTRAMOS DIFÍCIL PODRÍA DAR UNA PISTA
Por ejemplo, el concepto de cero o de un número negativo, o de una relación, o de una manera uniforme de resolver cualquier ecuación cuadrática: estas son todas las cosas que enseñamos hoy en día, algunas en la escuela primaria y otras en la secundaria, pero hace unos siglos Estas eran áreas avanzadas de matemáticas que solo unos pocos humanos en todo el mundo entendieron, y retroceden más y hubo momentos antes de que se entendiera cualquiera de esos conceptos.
Hace unos milenios, nadie en el mundo entendía la idea matemática de cero, su idea de las proporciones era muy diferente a la nuestra, no tenían idea de resolver la cuadrática en su caso general, podían resolver algunos casos especiales del teorema de Pitágoras. por prueba y error probablemente.
También tenían formas extrañas de trabajar con cantidades fraccionarias, por ejemplo, las fracciones unitarias de los sumerios mencionados anteriormente, todo expresado como sumas de recíprocos de números enteros, nos parece muy torpe, tenían algunos puntos interesantes al respecto, pero lo principal es que Era toda una sociedad de humanos, tan inteligentes como nosotros, que no pensaba en ninguna de las ideas modernas de las matemáticas.
Entonces, creo que bien podría haber conceptos similares que tienen los matemáticos ET que aún no hemos pensado.
Y al final de eso, como en algunas historias extraterrestres, tal vez ya no estaríamos pensando como los humanos hoy. Para bien o para mal.
SUS MATEMAS PUEDEN SER MILLONES DE AÑOS DESARROLLADOS ADEMÁS DE NUESTROS
Un ET matemático puede no ser tecnológico, puede ser matemático sin tecnología, por ejemplo, si no tiene manos o por alguna razón no puede manipular mucho su entorno.
Si nos encontramos con un ET con matemáticas, la posibilidad de que lo hayan desarrollado en los últimos miles de millones de años, ya que las condiciones adecuadas para la evolución en nuestra galaxia deben ser pequeñas, tan pequeñas que sean casi imposibles.
Entonces, si nos encontramos con matemáticos extraterrestres, hay una excelente posibilidad de que estén usando conceptos matemáticos que han desarrollado, no durante nuestros pocos milenios, sino durante millones de años, posiblemente incluso miles de millones de años.
¿Cómo serán nuestras matemáticas dentro de mil millones de años? ¿Qué conceptos entendería entonces cada joven escolar? Quizás algunas de ellas son cosas que nuestras mentes más brillantes aún no han pensado.
Acabo de publicar una versión ligeramente editada de esto en mi blog Science20 aquí:
Matemáticas de una civilización extraterrestre: ¿cómo podría ser, y lo entenderíamos?
Una pregunta relacionada es, ¿qué tipo de sentidos tendrían los extraterrestres, percibirían el mundo de esta manera o de alguna manera, de manera totalmente diferente?
En otro contexto, música en lugar de matemáticas, puede que le guste mi artículo:
¿Qué tan fácil sería comunicarse con extraterrestres musicales, como en “Encuentros cercanos de un tercer tipo”?
Este artículo como libro Kindle:
Matemáticas de una civilización extraterrestre: cómo podría ser
por Alberto Seveso 
de Wiggly Numbers 
El dibujo de turbulencia de Leonardo da Vinci 
John Baez respondiendo esa pregunta 
del mapa del tesoro de Mumford 