Bueno, primero tenemos que definir algunas cosas para descubrir la dilatación del tiempo.
En realidad estaba mintiendo, solo una cosa: ¿qué tan pesado es el agujero negro? Eso va a importar bastante para cualquier cálculo adicional sobre cómo le irá a la Tierra contra este monstruoso agujero negro. Supongamos un agujero negro no giratorio bastante grande, con un peso de 17 mil millones de masas solares (estoy usando el agujero negro supermasivo en el centro del NGC 4889, aunque no estoy seguro de si ese gira o no). Este peso, cuando se convierte a kilogramos, es igual a aproximadamente [matemática] 3.3813 \ por 10 ^ {40} [/ matemática].
Fuerte de hecho.
Ahora, mencionaste el horizonte de eventos, ¿no? Usando la masa de este agujero negro, definamos a continuación el radio del horizonte de eventos, también conocido como el radio de Schwarzschild. Usando esta ecuación: [matemática] r_ {Schwarzschild} = \ frac {2MG} {c ^ {2}} [/ matemática], podemos calcular efectivamente el radio del horizonte de sucesos en kilómetros usando la masa, donde M es la masa del agujero negro, G es la constante gravitacional y c es la velocidad de la luz.
Vamos a resolver eso:
[matemáticas] r_ {Schwarzschild} = \ frac {\ left (2 \ right) \ left (6.673 * 10 ^ {- 11} \ right) \ left (3.38147 * 10 ^ {40} \ right)} {\ left ( 3 * 10 ^ 8 \ derecha) ^ {2}} [/ matemáticas]
entonces:
[matemáticas] r_ {Schwarzschild} = 5.01 * 10 ^ {13} [/ matemáticas]
Ese es un infierno de un agujero negro. Ahora, echemos un vistazo a la dilatación del tiempo si estuviéramos rozando la superficie de este agujero negro. La ecuación para la dilatación del tiempo en un agujero negro es la siguiente: [matemáticas] t_0 = t_f \ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2r_ {min}}} [/ matemáticas]
dónde:
[matemática] t_0 = [/ matemática] Tiempo total en órbita. O en el caso de la película, el tiempo total en el planeta. Usaremos 1 hora para esto.
[math] t_f = [/ math] Cuánto tiempo ha transcurrido en relación con [math] t_0 [/ math]. Básicamente, el tiempo transcurrió hasta un observador externo.
[matemáticas] G = [/ matemáticas] Constante gravitacional
[matemáticas] M = [/ matemáticas] Masa del agujero negro
[matemáticas] r_ {min} = [/ matemáticas] Órbita estable mínima del planeta
[matemáticas] c = [/ matemáticas] Velocidad de la luz
Ahora, incluso la ecuación nos dice que esto es un poco peligroso. [math] r_ {min} [/ math] significa el radio mínimo estable que un planeta debe tener para orbitar alrededor de un radio de Schwarzschild establecido y eso fue parte de la ecuación cuando lo encontré. Nos estamos moviendo al reino de la locura aquí, así que no usaremos [math] r_ {min} [/ math]. En cambio, en lugar de eso, usaremos … [matemáticas] r_ {Schwarzschild} [/ matemáticas]. Bueno, no exactamente [matemáticas] r_ {Schwarzschild}. [/ Matemáticas] Hacer eso crearía un número imaginario, y no queremos eso. En cambio, ubiquemos la tierra aproximadamente a 1 kilómetro de distancia de [math] r_ {Schwarzschild}. [/ Math] Me encantaría que la tierra se acercara más que eso al agujero negro, pero no puedo encontrar una calculadora que matemáticamente permita yo para prescindir.
La ecuación utilizada representa la dilatación del tiempo cuando estamos desnatando, como lo expresó el OP, la superficie del agujero negro. (Si tiene curiosidad, [math] r_ {min} [/ math] generalmente sería igual a alrededor de 3 veces el radio de Schwarzschild)
¡Comencemos a calcular!
[matemáticas] 1 = t_f \ sqrt {1- \ frac {\ left (2 \ right) \ left (6.673 * 10 ^ {- 11} \ right) \ left (3.38147 * 10 ^ {40} \ right)} { \ left (3 * 10 ^ 8 \ right) ^ {2} \ left (5.01 * 10 ^ {13} \ right)}} [/ math]
Entonces, obtenemos este número: [math] t_f = 7.078 * 10 ^ 6 [/ math]
Cristo.
Eso es un poco más de 7,000,000 horas en la Tierra Regular por cada 1 hora en la Tierra Blackhole.
169,872,000 días por cada 1 día.
[matemáticas] 6.200 * 10 ^ {10} [/ matemáticas] años por cada 1 año.
Una vida adulta promedio en Blackhole Earth (78.74 años en EE. UU.) En la Tierra Regular sería [matemática] 4.88 * 10 ^ {12} [/ matemática] años. La Tierra ha existido por menos de eso (4.543 mil millones de años), el sol ha existido por menos de eso (6 mil millones de años), y la Vía Láctea ha existido por menos de eso (13.21 mil millones de años).
En comparación con el resto del universo, si la Tierra realmente estuviera tan cerca de un agujero negro, el tiempo nos devastaría. Es realmente hermoso pensar en eso, en el lapso de una vida humana, una gran parte de la realidad pasaría y nos dejaría ser.
Por supuesto, todo esto supone que no estamos hervidos vivos por los gases sobrecalentados del disco de acreción que rodea el agujero negro, todo el planeta esterilizado por los estallidos de rayos gamma increíblemente potentes que el agujero negro emite regularmente o sometido a Spaghettification a medida que la naturaleza exponencial de las fuerzas de gravedad más fuertes ordenadas en el universo se deforman y estiran toda la tierra hacia el oscuro abismo del horizonte de sucesos.
Pero es bueno reflexionar.