La respuesta obvia es 1 pie, pero realmente, el problema no está bien definido. Primero, supongamos que durante la carrera viaja a velocidad constante. Está viajando a velocidades relativistas, por lo que es importante saber en qué marco de referencia está a 1 pie de la sonda. Debido a la contracción de la longitud, mientras corre, la distancia entre usted y la sonda en su marco de referencia es menor que la distancia entre usted y la sonda en el marco de referencia de la sonda.
Quizás su verdadera pregunta es: “Si estoy a 1 pie de distancia de la sonda en mi marco de referencia cuando viajo a la velocidad que hice durante la carrera, ¿a qué distancia de la sonda estoy en reposo en relación con la sonda? “.
A continuación, todas las cantidades están en el marco de descanso de la sonda.
La luz recorrió 186k millas, por lo que la carrera tomó 0.99849 segundos (necesitará la precisión ya que 1 pie es una pequeña fracción de una milla), llamemos a esto [matemáticas] t [/ matemáticas]
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Viajaste 186k millas menos [matemáticas] x [/ matemáticas] pies. Todavía no sabemos [matemáticas] x [/ matemáticas], sabemos que está a 1 pie de distancia en su marco de referencia, queremos resolver la distancia en el marco de la sonda. Llamemos a la distancia 186000 * 5280, [matemática] d [/ matemática], medida en pies.
Su velocidad es [matemática] v = \ frac {(d – x)} {t} [/ matemática] pies / segundo
El factor lorentz a esta velocidad es
[matemáticas] \ gamma = \ sqrt {1 – \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} [/ matemáticas]
1 pie en su marco de referencia es [matemática] x [/ matemática] pies en el marco de la sonda y están relacionados por el factor lorentz
[matemáticas] x = 1 / \ gamma [/ matemáticas]
Esta es ahora una ecuación con un solo desconocido, [matemática] x [/ matemática]. El resto “justo” es álgebra.
Obtengo una ecuación cuártica bastante desagradable para x:
[matemáticas] x ^ 4 – 2x ^ 3d + x ^ 2 (d ^ 2-c ^ 2t ^ 2) + c ^ 2t ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
El último término, [matemática] c ^ 2t ^ 2 [/ matemática], podría parecer que tiene diferentes unidades del resto de los términos, pero se multiplica por la constante [matemática] (1 pie) ^ 2 [/ matemática] que vino de ti estando a 1 pie de distancia de la sonda.