Comienza con las sugerencias de Alon. Pero tenga en cuenta: eso es solo el comienzo. El camino hacia la OMI es largo y requiere esfuerzo. La clave es disfrutar el viaje. Si no le gusta el camino, nunca llegará a su destino.
Después de eso, revise los artículos de teoría de números, combinatoria (excepto 7) y álgebra (excepto 5) aquí: Base de datos matemática – Notas de matemáticas. (Se necesitan algunos conocimientos combinatorios elementales y álgebra de Olimpiadas para tratar los problemas de teoría de números de Olimpiadas).
En ese punto, comience a resolver problemas para competencias fáciles. Es decir, pruebas de selección de JBMO y JBMO, olimpiadas nacionales de países pequeños, etc. Puede encontrar problemas para tales concursos en Contest Collections of Art of Problem Solving.
Sugiero continuar con las notas de “Teoría de números” de Naoki Sato. (puede encontrar esto gratis en Art of Problem Solving -use search)
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Además, tenga en cuenta que en ese momento también se requieren algunas habilidades generales para resolver problemas. Por lo tanto, sugiero estudiar también las “Estrategias de resolución de problemas” de Arthur Engel.
Luego estudie “104 Problemas de teoría de números” y “Una introducción a las ecuaciones de diofantina” de Andreescu.
Ahora comience a resolver problemas de competencias más difíciles. Puede intentar, por ejemplo, problemas de la lista corta de la OMI, etc. Las secciones de la lista de la OMI están numeradas aproximadamente en orden de dificultad. Puede probar los primeros dos problemas en la sección Teoría de números de cada año. (ver el enlace de las colecciones del concurso). Además, “250 problemas en la teoría numérica elemental” (W. Sierpinski) también es un recurso útil.
Después de eso, es hora de un conocimiento más avanzado:
1. familiarícese con lemas y métodos como LTE, Vieta Jumping, Extremal Number Theory.
2. Estudie polinomios ciclotómicos, aprenda la teoría de números desde una perspectiva de álgebra abstracta y concéntrese especialmente en dominios de factorización únicos. Además, aprenda sobre las formas cuadráticas, la ecuación de Pell, las aproximaciones racionales, etc.
Busque en Aops los artículos apropiados sobre los temas anteriores. Además, consulte los Materiales de entrenamiento de Olympiad y los artículos de Arkanm (usuario de AoPS) aquí: Teoría de números
Después de todo lo anterior, comience a resolver problemas más difíciles desde IMO, USAMO, etc. Verifique también PEN (busque en AoPS).
Notas:
1. Cuando estudies un libro o un artículo NUNCA saltes los problemas. Tienes que probarlos todos y resolver al menos el 75% de ellos. NUNCA se los salte. Estás tratando de mejorar en la resolución de problemas, no en la memorización de teorías.
2. Intente encontrar / recordar / reconstruir las pruebas de cada resultado que encuentre. Esto es esencial
3. Resuelve enormes cantidades de problemas.
4. Revise los materiales que ya estudió y vuelva a leer sus soluciones en los problemas que resolvió anteriormente. Es bueno tener una carpeta que contenga copias ordenadas de su trabajo y resúmenes de lo que ha aprendido de libros específicos.
5. No trate a las Olimpiadas como un examen escolar, que contenga “teoremas sos”, etc. Debe tener una comprensión profunda de la teoría de números, incluso si no parece ayudar en alguna parte. Y de todos modos, se supone que debes aprender todo lo que puedas. Si no lo haces, ríndete.
Después de todo esto, cualquier conocimiento nuevo también es útil.
Algunos libros útiles son, por ejemplo:
1. “Una introducción a la teoría de los números” (por Niven y otros dos)
2. “Una introducción clásica a la teoría de números moderna” (por Irlanda y Rosen)
3. “Introducción a la teoría del número analítico” + (por Tom M. Apostol -RIP)
Perdón por el mal inglés, no soy hablante nativo.
Ah, y un último comentario:
Podemos ver que durante los últimos años, los problemas de la teoría de números puros son raros. En mi opinión, eso va a cambiar: el jurado de la OMI, de ahora en adelante, intentará poner un problema de teoría de números como problema 1,2,4 o 5. Eso no es oficial, pero lo escuché del propio presidente.