Acabo de comenzar un análisis real, y sé que no es correcto pensar en dy / dx como una relación de diferenciales. Entiendo la definición de derivada como un límite, pero cuando los diferenciales participan en ella y en integrales indefinidas, me pierdo. ¿Cómo trato con ellos como principiante, correctamente?

Answer 1

Históricamente, cuando Leibniz concibió la notación, se suponía que [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] era un cociente: era el cociente del “cambio infinitesimal en [math] y [/ math] producido por el cambio en [matemáticas] x [/ matemáticas] “dividido por el” cambio infinitesimal en [matemáticas] x [/ matemáticas] “.

Sin embargo, la formulación de cálculo con infinitesimales en la configuración habitual de los números reales conduce a muchos problemas. Por un lado, ¡los infinitesimales no pueden existir en la configuración habitual de números reales! Debido a que los números reales satisfacen una propiedad importante, llamada Propiedad Arquímedeana: dado cualquier número real positivo [matemática] \ epsilon \ gt 0 [/ matemática], no importa cuán pequeño, y dado cualquier número real positivo [matemática] M \ gt 0 [/ math], no importa cuán grande, existe un número natural [math] n [/ math] tal que [math] n \ epsilon \ gt M [/ math]. Pero se supone que un “infinitesimal” [matemático] \ xi [/ matemático] es tan pequeño que no importa cuántas veces lo agregue a sí mismo, nunca llega a [matemático] 1 [/ matemático], lo que contradice la propiedad de Arquímedes. Otros problemas: Leibniz definió la tangente a la gráfica de [matemática] y = f (x) [/ matemática] en [matemática] x = a [/ matemática] diciendo “Tome el punto [matemática] (a, f (a )) [/ math]; luego agregue una cantidad infinitesimal a [math] a [/ math], [math] a + dx [/ math], y tome el punto [math] (a + dx, f (a + dx )) [/ math], y dibuja la línea a través de esos dos puntos “. Pero si son dos puntos diferentes en el gráfico, entonces no es una tangente, y si es solo un punto, entonces no puede definir la línea porque solo tiene un punto. Eso es solo dos de los problemas con los infinitesimales. (Ver abajo donde dice “Sin embargo …”, sin embargo).

Entonces, el cálculo se reescribió esencialmente desde cero en los siguientes 200 años para evitar estos problemas, y está viendo los resultados de esa reescritura (de ahí provienen los límites, por ejemplo). Debido a esa reescritura, la derivada ya no es un cociente, ahora es un límite:
[matemáticas] \ lim_ {h \ to0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/ matemáticas].
Y como no podemos expresar este límite de un cociente como un cociente de los límites (tanto el numerador como el denominador van a cero), entonces la derivada no es un cociente.

Sin embargo, la notación de Leibniz es muy sugerente y muy útil; aunque los derivados no son realmente cocientes, en muchos sentidos se comportan como si fueran cocientes.

Entonces tenemos la regla de la cadena:
[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \; \ frac {du} {dx} [/ matemáticas]
que parece muy natural si piensas en las derivadas como “fracciones”. Tienes el teorema de la función inversa, que te dice que
[matemáticas] \ frac {dx} {dy} = \ frac {1} {\ quad \ frac {dy} {dx} \ quad}, [/ math]
lo que de nuevo es casi “obvio” si piensas en las derivadas como fracciones. Entonces, debido a que la notación es tan agradable y sugerente, mantenemos la notación a pesar de que la notación ya no representa un cociente real, ahora representa un límite único. De hecho, la notación de Leibniz es tan buena, tan superior a la notación principal y a la notación de Newton, que Inglaterra se quedó atrás de toda Europa durante siglos en matemáticas y ciencias porque, debido a la lucha entre el campo de Newton y Leibniz sobre quién había inventado el cálculo y quién se lo robó a quién (el consenso es que cada uno lo descubrió de forma independiente), el establecimiento científico de Inglaterra decidió ignorar lo que se estaba haciendo en Europa con la notación de Leibniz y se aferró a Newton … y se quedó atrapado en el barro en gran parte debido a ello.

(Los diferenciales son parte de este mismo problema: originalmente, [math] dy [/ math] y [math] dx [/ math] realmente significaban lo mismo que esos símbolos en [math] \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas], pero eso lleva a todo tipo de problemas lógicos, por lo que ya no significan lo mismo, a pesar de que se comportan como si lo hicieran).

Entonces, aunque escribimos [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] como si fuera una fracción, y muchos cálculos parecen que estamos trabajando con él como una fracción, en realidad no es una fracción ( solo juega uno en la televisión).

Sin embargo … Hay una manera de sortear las dificultades lógicas con los infinitesimales; Esto se llama análisis no estándar. Es bastante difícil explicar cómo se configura, pero se puede pensar que crea dos clases de números reales: aquellos con los que está familiarizado, que satisfacen cosas como la Propiedad Archimedean, la Propiedad Supremum, etc., y luego agrega otra clase separada de números reales que incluye infinitesimales y un montón de otras cosas. Si hace eso, puede, si tiene cuidado, definir derivados exactamente como Leibniz, en términos de infinitesimales y cocientes reales; si hace eso, entonces todas las reglas de cálculo que hacen uso de [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] como si fuera una fracción están justificadas porque, en ese contexto, es una fracción. Aún así, uno debe tener cuidado porque debe mantener separados los infinitesimales y los números reales regulares y no dejar que se confundan, o puede encontrarse con algunos problemas serios.

Fuente: http: //math.stackexchange.com/qu…

También podría ser útil: http://en.m.wikipedia.org/wiki/D…

Answer 2

No importa lo que digan los demás, realmente creo que la derivada ES una relación.

Entonces, ¿cuáles son los problemas que tienes cuando piensas en derivada como una razón?

El primero tiene que ver con la tangente. Por supuesto, una tangente no se puede usar para encontrar la pendiente (se requieren dos puntos, es decir, una secante). Cree que, dado que la tangente es un punto único, no podemos tener pendiente. Pero déjame decirte que, no importa cuán preciso tomes las medidas, SIEMPRE habrá una incertidumbre.

Por ejemplo, si traza un punto, diga 0.5. ¿Cómo puede estar seguro de que el punto está realmente en 0.5? ¡Cada punto, si haces zoom, encontrarás que es un círculo! Y si intentas usar medidas más precisas, ¡seguirá siendo un círculo! Por lo tanto, mi punto NO está exactamente en 0.5, pero también puede incluir puntos vecinos como 0.4995 o 0.50000002. En realidad, no puedo decirlos con precisión, porque siempre hay una incertidumbre. Por definición (“Elementos” de Euclides), un punto es aquel que no tiene partes . Y no importa cuán precisamente trace el punto, encontrará que aún puede dividirse en partes. Entonces, ¿es un punto realmente? Es solo un círculo que tiene un radio muy pequeño. No importa cuánto lo intentes, no puedes hacer que el radio sea IGUAL a cero. Solo puede intentar que sea lo más pequeño posible (tiende a cero).

Ahora con la tangente, date cuenta de que NO es una tangente, sino una secante, cuyos dos puntos están TAN CERCA, que sus vecindades se cruzan. Y no importa cuánto lo intentes, NUNCA puedes hacer que los puntos coincidan. Los dos puntos SIEMPRE estarán separados.

Esta es la razón por la que tenemos funciones trascendentales, que no se pueden expresar EXACTAMENTE .

Y con respecto a la propiedad de Arquímedes, ¿por qué necesita ‘n’ para ser un número natural? ¿No puede ser un número racional que satisfaga la condición?

Cuanto más aprendo matemáticas y física, más he aprendido, que

La perfección no se puede lograr.

No tiene sentido tratar de expresar EXACTAMENTE, porque SIEMPRE hay un error en la medición. La definición de límite épsilon-delta puede servir al rigor, pero en realidad es solo una relación entre los dos cambios.

Answer 3

Voy a citar a John von Neumann aquí, porque realmente llegó al meollo de la cuestión: “Joven, en matemáticas no entiendes las cosas. Simplemente te acostumbras a ellas”.

Las matemáticas son un sistema formal con un montón de reglas que nos dicen cómo funcionan las cosas. Creo que si entendemos cómo se aplican las reglas, estamos comenzando a hacer matemáticas; finalmente, usamos las reglas hasta que se arraigan en nosotros y comenzamos a entender por qué las reglas. Sin embargo, tanto como cualquier cosa, esto se obtiene a través de la percepción obtenida de la práctica, como en cualquier arte.

Dicho esto, para ayudar más específicamente, debe explicar (en los detalles de la pregunta) en qué punto se pierde. ¿Dejas de entender lo que significan las expresiones cuando involucran diferenciales?

Si este es el caso, puede ser útil pensar de alguna manera en sistemas con dimensiones o unidades . De esta manera, puede comenzar a comprender qué significan las integrales (en un sentido aplicado), o qué significan las derivadas en ese mismo sentido.

Considere [math] x: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] que describe la ubicación de uno [math] x [/ math] en la línea real en el momento [math] t [/ math]. Es decir, su posición viene dada por [matemáticas] x = x (t) [/ matemáticas], y tiene dimensiones de longitud. Luego tenemos la derivada, que es [matemática] \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} = \ lim _ {\ delta t \ a 0} \ frac {x (t + \ delta t) – x (t)} {\ delta t} [/ math] por definición. ¿Cuáles son las dimensiones de esta cantidad? Bueno, un diferencial de una cantidad tiene las mismas dimensiones que la cantidad misma; solo representa una cantidad infinitesimal de la misma. Entonces, las unidades de la derivada son el desplazamiento dividido por el tiempo, que llamamos velocidad (el valor absoluto del cual llamamos velocidad).

De manera similar, la integral indefinida de una función [matemática] F (x) = \ int f (x) \ matemática {d} x [/ matemática] es una función con las unidades de [matemática] f [/ matemática] multiplicada por las unidades de [matemáticas] x [/ matemáticas], pero también depende de [matemáticas] x [/ matemáticas] en sí. Como antiderivada, tiene cierta relación con las propiedades globales de [math] f (x) [/ math]. El diferencial de [math] F [/ math] es [math] \ mathrm {d} F = f (x) \ mathrm {d} x [/ math], mientras que la derivada, como puede ver, es completamente “local” “asunto”. Trivialmente, entonces, aplicando el operador de integración, el lado izquierdo es [math] \ int \ mathrm {d} F = F [/ math], mientras que el lado derecho que he escrito anteriormente. Del mismo modo, si trata los diferenciales como si fueran cosas que podría mover algebraicamente, obtendrá la forma [math] \ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} x} = f (x) [/ math], como cabría esperar de la integral anterior.

Aunque el análisis se realiza por completo en abstracto, pensar de esta manera le da una pequeña comprobación de lo que está haciendo a medida que avanza.

Aprenda las reglas y siga las reglas, pero también obsérvelas (obsérvelas profundamente, y no solo obsérvelas en el sentido superficial en el que seguiría una ley con la que no está de acuerdo) y luego el por qué de ellas gradualmente hará que sentido si te das el tiempo.