Depende de cuáles sean esas “manipulaciones algebraicas”: ¿son reversibles?
Por ejemplo, pensamos en “cuadrar ambos lados” como una “manipulación algebraica” … y es cierto que siempre que [matemática] x = y [/ matemática] sea una ecuación verdadera, entonces [matemática] x ^ 2 = y ^ 2 [/ math] será una ecuación verdadera. Esto puede ser una manipulación algebraica útil en algunos contextos.
Pero NO es cierto que siempre que [matemática] x ^ 2 = y ^ 2 [/ matemática] sea una ecuación verdadera, [matemática] x = y [/ matemática] será una ecuación verdadera. Entonces, si te pido que pruebes que [matemática] -1 = 1 [/ matemática], no puedes simplemente decir “bueno, cuadraré ambos lados y obtendré [matemática] 1 = 1 [/ matemática]” y esperar que alguien se convenza. No es un paso reversible.
Del mismo modo, cada vez que [math] x = y [/ math], se le permite multiplicar ambos lados por el mismo número [math] a [/ math], el lado izquierdo será igual al lado derecho, es decir, [math] ax = ay [/ math]. Pero si comienzas a saber que [math] ax = ay [/ math], no puedes concluir que [math] x = y [/ math] – después de todo, [math] a [/ math] podría ser igual a [math ] 0 [/ math], y en ese caso [math] ax = ay [/ math] podría ser cierto incluso si [math] x \ neq y [/ math].
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Nuevamente, si trataste de probar [matemáticas] -1 = 1 [/ matemáticas] diciendo: “bueno, si multiplico ambos lados por [matemáticas] 0 [/ matemáticas], obtengo [matemáticas] 0 = 0 [/ matemática] y luego si agrego [matemática] 1 [/ matemática] a ambos lados obtengo [matemática] 1 = 1 “[/ matemática], la gente se reiría de ti.
Esos dos ejemplos pueden parecer absurdos, pero ¿no es eso lo que estás diciendo? En ambos casos, realizó “manipulaciones algebraicas” válidas y obtuvo [matemática] 1 = 1. [/ matemática] En estos casos, es muy obvio por qué las pruebas no son válidas, ya que el paso no reversible es tan transparente. Pero esta misma falla puede ocurrir en problemas mucho más complicados: si COMIENZA con el resultado que está tratando de demostrar, aplique “manipulaciones algebraicas” para alcanzar una ecuación como [matemática] 1 = 1 [/ matemática], la prueba solo sea válido si cada una de esas manipulaciones algebraicas también es legal cuando va en la dirección inversa, comenzando desde [matemática] 1 = 1 [/ matemática] y trabajando hacia su resultado.