Rompería este cálculo en mirar cada tirada de dados como un evento independiente y considerar la pregunta de probabilidad en términos de [matemática] 5 [/ matemática] pruebas de Bernoulli.
Considere un éxito como obtener un [matemático] 4 [/ matemático], [matemático] 5 [/ matemático] o [matemático] 6 [/ matemático] en una tirada y un fracaso como cualquier otra cosa. La probabilidad de tener éxito es [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas]. Por lo tanto, la probabilidad de una falla es [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática].
Lo siguiente supone que desea la probabilidad de que al menos uno de los cinco lanzamientos muestre un número mayor o igual a 4.
La pregunta puede entonces expresarse como
- Hace un mes me perforaron la nariz y ayer la cambié por un aro. Lo limpio casi 4 veces al día. Y ahora hay una protuberancia roja. ¿Qué debo hacer?
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p (4 o 5 o 6 en el primer dado) + p (4 o 5 o 6 en el segundo dado) +… + p (4 o 5 o 6 en el quinto dado)
lo anterior se puede expresar de manera similar usando la distribución binomial como 1 menos la probabilidad de no tener éxito:
[matemáticas] 1 – {5 \ elegir 0} \ veces \ frac {1} {2} ^ 0 \ veces \ frac {1} {2} ^ 5 [/ matemáticas]
lo que nos da una tasa de éxito de 0.84375 o casi 85%.
Actualización (para ver exactamente [math] x [/ math] die mostrar un cuatro o más) :
Con una aclaración de la pregunta, intentaré dar una mejor respuesta. Mi respuesta anterior da la probabilidad de que al menos un dado muestre un número que sea un 4, 5 o 6. Sin embargo, creo que quiere la probabilidad de ver exactamente [matemáticas] x [/ matemáticas] números de 4, 5, o 6. Daré la fórmula genérica en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas] para encontrar la probabilidad de que exactamente [matemáticas] x [/ matemáticas] dados muestren 4+.
Este puede ser razonado, en mi opinión, más fácilmente que la respuesta explicada anteriormente.
Considere cuando [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], entonces tiene exactamente un dado que muestra 4+ y todos los demás dados que muestran menos de 4. Sabemos la probabilidad de ver 4+ en una tirada, es solo [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ math]. Como hay 5 dados, el resto de los dados debe mostrar números menores que 4. Ahora sabemos que un dado muestra 4+ y cuatro dados muestran 3 o menos. Suponga que el primer dado arrojado mostró 4+ y cada dado después de que mostró 3 o menos. Esta probabilidad es la probabilidad de ver más de 4 veces la probabilidad de que los otros cuatro mueran mostrando 3 o menos,
[matemáticas] \ frac {1} {2} \ times \ frac {1} {2} \ times \ frac {1} {2} \ times \ frac {1} {2} \ times \ frac {1} {2 }[/matemáticas]
o
[matemáticas] \ frac {1} {2} ^ 1 \ veces \ frac {1} {2} ^ 4 [/ matemáticas]
Ahora, si se lanzan cinco dados, el orden del dado muestra 4+ (o el dado específico que muestra 4+) puede suceder de diferentes maneras. El primer dado podría mostrar 4+ o el segundo podría o el tercero podría, etc. Para compensar esto, multiplique la probabilidad anterior por [matemática] {5 \ elija 1} [/ matemática], que simplemente dice que hay Hay 5 formas en que puede ver exactamente un dado de cinco dados que muestra 4+. Para resumir, la probabilidad de ver exactamente un dado de cinco dados muestra 4+ es
[matemáticas] {5 \ elegir 1} \ veces \ frac {1} {2} ^ 1 \ veces \ frac {1} {2} ^ 4 [/ matemáticas]
Ahora que sabemos cuál es la probabilidad de ver exactamente un dado 4+, escriba la fórmula para ver exactamente [math] x [/ math] die show 4+. Es posible que el patrón no se vea tan fácilmente en este ejemplo, ya que la probabilidad de éxito y fracaso es la misma, pero utilizaré la notación más detallada para ser coherente con la respuesta que proporcioné antes de los detalles actualizados de la pregunta.
Si vemos dados [matemáticos] x [/ matemáticos] que muestran 4+, hay [matemáticos] {5 \ elegir x} [/ matemáticos] para que esto suceda. Luego, multiplique por la probabilidad de ver que los dados [matemáticos] x [/ matemáticos] muestran un éxito (es decir, ver 4+) que es [matemática] \ frac {1} {2} ^ x [/ matemática]. Luego considere la probabilidad de que el resto de las tiradas de dados sea un fracaso (es decir, ver tres o menos) viene dada por [math] \ frac {1} {2} ^ {5-x} [/ math]. Esto nos da la siguiente probabilidad,
[matemática] P (X = x) = [/ matemática] [matemática] {5 \ elegir x} \ veces [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {2} ^ x \ veces [/ matemática] [matemática ] \ frac {1} {2} ^ {5-x} [/ math]
Con suerte, está comenzando a ver el patrón de cómo funcionan las pruebas de Bernoulli.
Le dejaré que encuentre los valores específicos para una [matemática] x [/ matemática] dada.