Si no puedo encontrar ningún número racional entre dos números irracionales, ¿puedo determinar cuál es mayor?

Answer 1

Siempre es posible encontrar un número racional entre dos números irracionales distintos. La prueba es un poco desagradable de escribir en detalle, pero aquí va.

Prueba: Sea x e y distintos números irracionales, y considere sus expansiones decimales. Como x e y son distintos, sus expansiones decimales son distintas. Suponga que las expansiones decimales primero difieren en el enésimo decimal. Por lo tanto, ya ha demostrado que x <y o y <x. (Debido a que difieren en un lugar decimal, que solo toma los valores de 0 a 9.)

Bien, entonces supongamos que x <y … se vuelve a etiquetar si no es así. Eso significa que el enésimo decimal de x es menor que el enésimo decimal de y. Concéntrese en la expansión decimal de x por un momento.

Como x es irracional, su representación decimal no se repite después del n + 1 ° decimal. En particular, hay algún lugar decimal m después de n + 1 cuyo valor es menor que 9. De lo contrario, la cola de la representación decimal de x sería solo los 9, por lo que x es racional.

Ahora construya un nuevo número racional q, que es solo los primeros decimales m-1 de x, un 9 en el enésimo lugar decimal, y luego ceros en cualquier otro lugar. (Tenga en cuenta que q es automáticamente racional, ya que su expansión decimal termina). Afirmo que q está entre x e y.

Primero, q es mayor que x por construcción: es igual a x en todos los lugares decimales antes de m, pero en el enésimo lugar decimal, q tiene un 9 mientras que x tiene menos de un 9.

Segundo, q es más pequeño que y: dado que q es igual a x hasta el enésimo lugar decimal, y el enésimo lugar decimal de y es mayor que x, y también es mayor que q.

Hecho.

Answer 2

Es una propiedad definitoria de los números reales que están totalmente ordenados. Eso es para dos números reales [matemática] x, y [/ matemática] precisamente uno de los siguientes es verdadero:

[matemáticas] x = y, x

Por lo tanto, a menos que sus dos números sean iguales, ¡uno es más grande que el otro, ya sea que pueda encontrar un racional entre ellos o no!

Suponiendo que no son iguales, sin pérdida de generalidad suponga [matemáticas] x

[matemáticas] \ lceil z \ rceil = z_0 [/ matemáticas]

donde [math] z_0 [/ math] es el número entero más pequeño mayor o igual que [math] z [/ math].

Deje que [matemáticas] M = \ lceil \ frac {2} {yx} \ rceil, X = \ lceil Mx \ rceil, q = \ frac {X + 1} {M} [/ math]

[matemáticas] \ Rightarrow M (yx) \ geq 2 [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow y \ geq \ frac {Mx + 2} {M}> \ frac {X + 1} {M} = q> \ frac {X} {M} \ geq x [/ math]

[math] \ Rightarrow y> q> x [/ math]

QED

Answer 3

Acabo de tener una fiesta con un papel y un lápiz, y creo que es relativamente fácil demostrar que siempre se puede construir un número racional que se ubicará entre dos números irracionales.

Answer 4

No es imposible. Los números racionales son densos en el conjunto de números reales. Siempre encuentra (infinitos) números racionales entre dos números reales diferentes (racionales o irracionales).

Answer 5

Si no puede encontrar un número racional entre a y b , donde a y b son ambos reales, entonces a = b .