¿Podremos completar [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]?

Answer 1

Como suele ser el caso con las preguntas que contienen [matemáticas] \ pi [/ matemáticas], ese hermoso número trascendental es una pista falsa.

En cambio, la pregunta es realmente sobre series infinitas: si podemos hacer algo (por ejemplo, escribir un dígito) en un tiempo que disminuye exponencialmente, ¿podemos hacer eso infinitamente muchas veces en un tiempo finito? ¿Podemos hacer un llamado Supertask?

La respuesta es sí , por supuesto, siempre que realmente pueda hacer las subtareas en un tiempo exponencialmente decreciente. Esto queda ilustrado por el hecho de que Aquiles atrapa a la tortuga a pesar de la paradoja de Zenón de que primero debe alcanzar un número infinito de lugares en los que la tortuga estuvo anteriormente.

Sin embargo, si una subtarea tiene un tiempo mínimo mayor que cero, entonces la serie divergerá a más infinito: solo se pueden completar muchas subtareas en tiempo finito. Se puede argumentar que “escribir un dígito” tiene un tiempo mínimo mayor que cero. Por otro lado, ciertamente puedo especificar una secuencia infinita de dígitos en tiempo finito, si no los escribo todos. Por ejemplo, la expansión decimal de [math] \ frac17 [/ math] es [math] 0. \ overline {142857} [/ math]. Su dígito [math] n ^ {\ text {th}} [/ math] para cualquier [math] n [/ math] se encuentra fácilmente mirando [math] n \ pmod6 [/ math], el resto de [math ] n [/ math] dividido por [math] 6 [/ math].

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Por cierto, se especifican todos los dígitos decimales de [math] \ pi [/ math], incluso si no podemos calcularlos todos en tiempo finito. [math] \ pi [/ math] ya está “completo” en este sentido.

Traído a usted por la Campaña para desmitificar [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]: no hay nada místico sobre [matemáticas] \ pi [/ matemáticas].

Answer 2

Depende de tu definición.

El tiempo que lleva hacer su experimento es de hecho dos minutos. Pero tu experimento nunca termina. Este es un ejemplo de las paradojas de Zenón: Wikipedia.

En el caso de Aquiles y la tortuga, sabemos que Aquiles gana.

En su caso, no es posible un observador externo. Si hubiera uno, después de dos minutos, vería el último dígito de pi escrito en su pizarra, y no hay un último número. En tu realidad interna, nunca dejas de escribir. Por lo tanto, la idea de “finalización” es ambigua.

Answer 3

“Pi completo” no tiene sentido. Pi es exacto; No necesita completarse. Hay muchas expresiones matemáticas que definen sucintamente pi. La expresión como solemos hacer, a saber, la representación de base 10 no es una de estas formas de definir pi, pero puede hacerse arbitrariamente cerca.

Propone dividir un tiempo finito en un número infinito de incrementos, escribiendo un dígito para cada incremento. Por supuesto, no es posible hacer físicamente un número infinito de cosas en un tiempo finito. Pero, en principio, se puede dar un número infinito de dígitos en un número infinito de pasos.

Answer 4

Buena pregunta.

Con cada paso, seguimos acercándonos cada vez más a terminar [math] \ pi [/ math], pero al mismo tiempo, queda un número infinito de movimientos.

La secuencia es así:

1m: 3.

1.5m: 1

1.75m: 4

1.875m: 1

1.9375m: 5

1.96875m: 9

1.976562m: 2

Etc.

Ahora, cada segundo, la velocidad se vuelve dos veces, y al mismo tiempo, hay un dígito menos para escribir, haciendo una neutralidad, es decir, completaremos [math] \ pi [/ math]

Pero al mismo tiempo, [math] \ pi [/ math] es infinito. Se necesita un número infinito de movimientos para anotar pi, y es físicamente imposible.

Paradoja.

Answer 5

En primer lugar, si “completo” significa “anote el valor exacto y no un valor aproximado”, entonces, sí, eso se puede hacer en dos minutos o menos: [math] \ pi [/ math]. Hecho.

Si “completo” significa “escriba una representación decimal del número que comienza con ‘3.1’ y continúa hasta que no haya más dígitos decimales en la representación decimal de un número que no tiene una representación decimal finita”, entonces esta es su paradoja: Ha colocado dos requisitos contradictorios en el proceso. Necesita (1) “continuar” y (2) “hasta que no haya más dígitos decimales”, pero para cualquier número irracional y para la mayoría de los números racionales, no puede hacer ambos (1) y (2). Puede hacer (1) pero solo “hasta que no haya más dígitos decimales que quiera escribir”. En realidad, no puede hacer (2) en ningún caso, porque esa no es una condición que se cumpla. Comenzando con el número 4, ¿puedes sumar 3 al número, y luego agregar 3 nuevamente y continuar hasta que la suma sea igual a 2? No es exactamente lo mismo, pero da una idea más clara de lo que significa tener una condición de “hasta” que nunca se cumplirá.

En cuanto al proceso físico que describe, [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es irrelevante, así que eliminemos una complejidad de la situación y preguntemos: “¿Podremos completar [matemáticas] \ frac {1} {3} [ /matemáticas]? Digamos que comenzamos a escribir todos los dígitos, tomando la mitad del tiempo para cada uno subsiguiente … “Ahora, escriba” 3 “y luego otro” 3 “en la mitad del tiempo. Esto es más simple de visualizar que hacer esto con [math] \ pi [/ math], pero es claramente el mismo escenario (excepto que puede hacerlo un poco más rápido, ya que no tiene que calcular qué dígito escribirá )

La clave aquí es que no importa cuán pequeño sea un período de tiempo para escribir un “3”, seguirá un período de tiempo que es 1024 veces más corto que uno y que es mil millones de veces más corto que eso. Entonces, podemos calcular el tiempo que le toma a usted escribir un dígito, luego el tiempo que le toma a usted escribirlo más rápido y cuánto tiempo le toma a la punta del lápiz transferirse al papel, luego podemos calcular el tiempo que tarda toma los campos electrostáticos de un átomo de carbono de su lápiz para liberar enlaces de su punta de lápiz y unir enlaces a su papel, y luego podemos reducir ese tiempo en una milmillonésima parte del tiempo que tarda un solo átomo de carbono en su lápiz para notar los efectos del papel.

Claramente, en algún momento, si comienza a escribir “3” en intervalos muy reducidos a la mitad, no tendrá tiempo suficiente para que ni un solo átomo se mueva de su lápiz al papel. Comenzará a pasar intervalos en los que no solo no podrá escribir “3” para esos intervalos, o cualquier intervalo después de eso, no podrá hacer que ni un solo átomo se mueva del lápiz al papel.

Tus dos minutos han terminado.

Answer 6

Esta es una respuesta bastante rudimentaria: apegarse solo a los conceptos básicos sobre los que se basan las matemáticas (sin entrar en definiciones rigurosas y avanzadas).

De acuerdo, a la respuesta real:

Pi es un número irracional, que nunca termina, lo que significa que tiene una cantidad infinita de dígitos que no se repiten. No importa qué tan rápido escriba los dígitos de pi (según la definición), nunca alcanzará el dígito “final” (ya que no hay un dígito final). La única forma en que teóricamente podrías “completar” escribir los dígitos de pi es si los escribiste infinitamente rápido. Sin embargo, esto es casi imposible de comprender para cualquier humano, por lo que no continuaré desarrollando esa parte de la respuesta.

Answer 7

No, no puedes. Nunca podrá ver el final del cálculo, incluso si el tiempo necesita la mitad en cada cálculo.

He estado jugando con esta idea durante unos años, pero es bastante imposible. Pi es eterno, no hay fin. Es infinito, y como tal, de cualquier forma que trate de calcularlo eternamente, es infinito y eventualmente causará un problema con la entropía.

Los electrones en una computadora tienen masa. Como susch, Internet, según lo estimado hace unos años, era casi lo mismo que una fresa pequeña. Entonces, los números acumulados del cálculo de Pi, incluso si tuviera la misma masa de información numérica, toda la Internet en este momento sería aproximadamente la masa de una pequeña fresa.

Ahora tómelo de la otra manera, donde la velocidad de cálculo duplica (hipotéticamente) cada cálculo, en cierto punto usted pasaría la energía disponible necesaria para construir las máquinas para calcular el siguiente número, en todo el Universo.

Entonces no sucederá. Llegará allí increíblemente rápido también.

Un grano de arroz en un tablero de ajedrez, duplicado cada vez por cada movimiento en los lugares disponibles y pronto tendrá suficiente arroz para alimentar a China durante un año, duplicarlo nuevamente y ahora es … y así sucesivamente …

Si tiene el tiempo necesario para hacer el cálculo, no es necesario el espacio de almacenamiento para mantener el número en su lugar, sino las máquinas necesarias para hacer el cálculo, mucho más rápido .

Eventualmente necesitará dos máquinas la mitad del tiempo, y luego cuatro y luego dieciséis y así continuará. (versión simplificada, sí, sé que podríamos hacer que todas y cada una de las máquinas calculen la siguiente serie sin duplicar la capacidad de cálculo de cada paso, estoy siendo artístico con las matemáticas)

El final de Pi es incalculable. He teorizado sobre la idea de que si todos y cada uno de los números estuvieran representados por un solo átomo, qué tan rápido alcanzaríamos la masa del universo, me quedaría sin matemáticas.

No existe una división de tiempo “más pequeña”, incluso infinitamente pequeña, hasta los niveles cuánticos. Por lo tanto, el tiempo necesario para calcular el siguiente paso será infinitamente pequeño, pero continuará, incluso si no puede porque ya no queda suficiente masa para construir más máquinas para calcular el siguiente número. Paradoja.

En realidad, se encontrará con la relatividad, ya que la energía necesaria para mantener los cálculos en curso, si la mitad del tiempo cada cálculo finalmente golpeará contra el límite de entropía, y los cálculos no podrán continuar en las máquinas disponibles , que ahora representan la masa del universo, y como tal los electrones en los circuitos tendrían que superar la velocidad de la luz en los circuitos para poder reducir a la mitad el tiempo de cálculo de cada ciclo.

Apuesto a que alguien puede darnos una estimación razonable sobre cuánto tiempo antes de que esto suceda.

Le doy unos tres meses.

Answer 8

¡Por su método, por supuesto!

Pero no es tan sorprendente como parece. Es solo la suma de GP infinito, nada extraordinario. Pero hacerlo prácticamente es una pregunta diferente todos juntos. No puedes escribir tan rápido, ¿verdad?

Answer 9

No. Una serie del formato 1 + 1 // 2 + 1/4 + 1/8 … es una serie infinita.

Si bien puede tomar el límite de la respuesta final, y es 2, hay un número infinito de términos. Si toma CUALQUIER cantidad de tiempo para “escribir” un término, tomará una cantidad infinita de tiempo. Es por eso que usamos técnicas matemáticas para determinar si una serie infinita tiene un límite (la respuesta) o “explota”, va al infinito.

No preguntaste cómo calcular la suma, pero puedes ver esto. Uno de los muchos ejemplos en línea.

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ – Wikipedia

Answer 10

Suponiendo que fuera posible duplicar la velocidad a la que escribe indefinidamente, aún no lo lograríamos.

Pi tiene una cantidad ilimitada de dígitos. Lo que eso significa es que no importa qué tan rápido escriba, nunca podrá escribir todos los dígitos de pi, ya que sabemos que no hay todo.

Desafortunadamente, el escenario que usted describe es un caso de “¿Qué sucede cuando una fuerza irresistible se encuentra con un objeto inamovible?” La velocidad a la que estaría escribiendo es la fuerza, mientras que el número interminable de dígitos de Pi es su objeto.

Sin embargo, en la forma en que lo describe, podríamos escribir todos los dígitos conocidos de Pi en menos de dos segundos. Eso es correcto.

Desafortunadamente, nadie puede escribir de esa manera. Terminarías escribiendo a más de la velocidad de la luz.

Answer 11

La pregunta realmente no tiene sentido. Si lo está haciendo en el mundo real, se formará un kugelblitz debido a la velocidad de escritura eventualmente infinita, que lo consumirá a usted, su papel y su pi. Incluso si usas la magia para evitar que eso suceda, todavía ocuparía un espacio infinito en el universo porque dentro de los dígitos de pi hay información infinita.

Hipotéticamente sí. Estaría terminado.

Answer 12

Si. Si la frecuencia de las iteraciones podría aumentar sin límite como usted describe, entonces [matemática] \ pi [/ matemática] se habrá calculado completamente después de 2 minutos, o incluso 2 segundos, dependiendo de la duración de la primera iteración. Parece imposible porque nada en el mundo real puede computar con una velocidad ilimitada, pero esto es matemática, no realidad.

Answer 13

Esto es una tontería y no hay paradoja.

No puedes hacer lo que propones. Se necesita una cantidad finita de tiempo para escribir cualquier dígito, sin importar cómo los escriba. Cuando llegue a ese dígito, habrá escrito un número finito de dígitos de la expansión decimal de [math] \ pi [/ math].

Answer 14

Matemáticamente sí. Físicamente no.

Esa suma infinita efectivamente convergerá a 2 y usar la longitud de pi como infinito no hace ninguna diferencia. Sin embargo, si intentas hacer esto en el mundo real, tendrás problemas para escribir tan rápido. Incluso si construye una máquina para escribir para usted que sea prácticamente indestructible, puede aplicar una fuerza ilimitada y escribe los dígitos realmente, muy pequeños, después de suficientes dígitos tendrá que moverse más que la velocidad de la luz para mantenerse al día con esa serie y Al intentar esto, la masa de la máquina diverge hacia el infinito y se derrumba en un agujero negro. La única forma de hacerlo es si estuvieras en un universo que te permitiera moverte a una velocidad infinita. También necesitarías energía infinita y papel infinito para escribir.

Answer 15

En realidad, según usted, sí, nos llevará menos de 2 minutos, pero solo si realmente lo resolvemos. La falla con esta paradoja es que tendrá un máximo en el tiempo, pero no tendrá un límite en la cantidad de pasos. Si puede escribir dígitos a la vez más rápido que la luz lo suficientemente pronto, entonces definitivamente podrá grabar esos números rápidamente. Tomemos dos escenarios para probarlo

1. Pi es infinito : seguirá escribiendo y escribiendo, y a medida que obtenga más y más dígitos, se acercará esta vez. Sin embargo, seguirá escribiendo y escribiendo, e incluso si el tiempo es muy corto, el número de pasos involucrados no es tan agradable para usted.
2. Pi es finito : entonces, por supuesto, encontrará su solución en dos minutos.

Sin embargo, esta situación sería imposible en la vida real.

(espera un minuto) Oh, el primer dígito es 3.

(espera medio minuto) Oh, me estoy acelerando, el segundo dígito es 1

(espera quince segundos) Oye, me estoy volviendo bueno en esto. 4)

(14.999999999 segundos después) ¡Ah, me duele la mano! Estoy haciendo lo imposible! ¡Voy más rápido que la velocidad de la luz! Ahhh

(.0000000000001) ¡Ahhhhh tantos números me estoy quedando sin papel!

(justo antes de 2 minutos) Espera, ¿puedo abusar de este poder y convertirme en el flash?

Answer 16

¿Y está asumiendo que esto podría hacerse, que podríamos reducir el tiempo a la mitad indefinidamente y seguir el ritmo?

Ummm, creo que un ingeniero tendría algunos problemas con tu premisa, ¿no?

¿Cuántos dígitos cree que podría producir en dos minutos sin la presión de tener que producir un nuevo dígito en la mitad del tiempo del último? Cuando el tiempo se reduce a una billonésima de segundo, ¿cuántos dígitos más crees que podrías encontrar?

Wow, ¿una respuesta con nada más que preguntas? ¿Es ese un nuevo récord?

Answer 17

Creo que esta pregunta es interesante.

Entonces, lo que queremos no es “completar [matemáticas] \ pi” [/ matemáticas] sino almacenar la representación decimal de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] completamente en tiempo finito.

Estamos en un mundo hipotético donde esto es posible, por lo que ignoramos la física pero podemos aplicar las matemáticas por completo.

Entonces que hace

[matemática] \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ i} = 2 [/ matemática] media?

Se define como

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {N \ to \ infty} \ sum_ {i = 0} ^ N \ frac {1} {2 ^ i} [/ math]

Entonces en nuestra situación. Anotamos un dígito después del otro y nos acercamos a [matemáticas] 2 [/ matemáticas] minutos con el aumento de nuestro número de dígitos.

En exactamente 2 minutos nuestro modelo se descompone. Entonces estamos a una velocidad infinita, ya que puedes ver cuál no está permitido.

Esta es una observación importante.

Pero para todos [math] t \ in (0,2) [/ math] podemos asignar un número de dígitos escritos. Esto siempre es finito, pero su supremum es [math] \ infty [/ math]

Entonces, para alguien afuera, podrían obtener arbitrariamente muchos dígitos. Pero tendrían que tomar un [informalmente “” punto de tiempo infinitamente cercano a [matemáticas] 2 [/ matemáticas] “que no existe.

[matemáticas] 2 [/ matemáticas] el punto de tiempo en el que supuestamente tenemos todos los dígitos no existe internamente.

Pero la parte positiva es que podemos tener todos los dígitos de [math] \ pi [/ math] afuera.

El conjunto de [math] \ {a_i: i \ in \ mathbb {N}} [/ math] (generalmente una secuencia inversa pero a la mierda) en la representación decimal se almacena aquí.

Tome un arbitrario [math] i \ in \ mathbb {N} [/ math] luego [math] a_i [/ ​​math] se habrá escrito durante los [math] 2 [/ math] minutos.

Answer 18

Este es un ejemplo de lo que se llama un Supertask, un ejemplo más simple que se llama lámpara de Thomson: si enciende y apaga una lámpara un número infinito de veces en un tiempo finito, después del final de ese tiempo la lámpara se enciende o apaga ? Completar Pi no es más posible o imposible que otras Supertasks; El debate ha terminado sobre si tal experimento mental es lógicamente significativo o no.

Answer 19

Mezclaste ideas con la palabra física. ¿Quién en el mundo entero puede escribir dígitos a una velocidad que se duplica con cada dígito escrito? ¿Puedes? ¡Nadie puede! Entonces, ¿por qué preguntar cuando sabes la respuesta?

Answer 20

No hay absolutamente ningún algoritmo que le permita seguir disminuyendo el tiempo para calcular el siguiente dígito. Después de todo, tienes que hacer al menos una operación de algún tipo.

Es posible que desee jugar con la desaceleración del tiempo. Digamos, comience un culto informático Pi en la Tierra, acelere cerca de la velocidad de la luz, regrese a la Tierra para verificar su progreso, acelere nuevamente, pero más cerca de la velocidad de la luz, etc.

Aún tendrás problemas (el sol se está quemando, el aumento ridículo en la cantidad de energía necesaria para ponerte al día, etc.) Además, hay un problema grave al probar una cantidad infinita de información en un universo posiblemente finito .