Si quiero encontrar la derivada de [math] f (x) = x ^ 2 [/ math], ¿por qué no puedo tomar [math] \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {2x (\ Delta x) + (\ Delta x) ^ 2} {\ Delta x} [/ math]?

Answer 1

Técnicamente, realmente tomas: [matemáticas] \ frac {d (x ^ 2)} {dx} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {(x + \ Delta x) ^ 2 – x ^ 2} { \ Delta x} [/ math]. La respuesta a este límite es [matemática] 2x [/ matemática]. Pero es posible que no pueda ver que la respuesta es [matemática] 2x [/ matemática] sin hacer uno o dos (o tal vez más) cálculos adicionales en el camino.

Aquí están “todos los pasos” que los estudiantes realmente están haciendo mientras aprenden. Puede omitir cualquiera o todos estos pasos si puede ver el resultado sin realizar el paso.
[matemáticas] \ frac {d (x ^ 2)} {dx} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {(x + \ Delta x) ^ 2 – x ^ 2} {\ Delta x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d (x ^ 2)} {dx} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {x ^ 2 + 2x (\ Delta x) + (\ Delta x) ^ 2 – x ^ 2} {\ Delta x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d (x ^ 2)} {dx} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {2x (\ Delta x) + (\ Delta x) ^ 2} {\ Delta x} [/matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d (x ^ 2)} {dx} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {2x + \ Delta x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d (x ^ 2)} {dx} = 2x + \ lim _ {\ Delta x \ a 0} {\ Delta x} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d (x ^ 2)} {dx} = 2x [/ matemáticas]

Cuanta más experiencia tenga los límites informáticos, menos pasos tendrá que escribir explícitamente para obtener las respuestas correctas de manera consistente.

Su pregunta es realmente análoga a:
“Cuando alguien me pide que encuentre el producto de 6,7 y 8, ¿por qué debo calcular el producto de 42 y 8? ¿Por qué no puedo simplemente multiplicar 6,7 y 8 directamente?”

Por supuesto, si sabe que [matemáticas] 6 \ veces 7 \ veces 8 = 336 [/ matemáticas] entonces no tiene que dar el paso extra de [matemáticas] 6 \ veces 7 \ veces 8 = 42 \ veces 8 = 336 [/ matemáticas]. Pero la mayoría de las personas necesitan un paso adicional en el medio para asegurarse de obtener la respuesta correcta.

Answer 2

Si toma el límite antes de simplificar, se acerca a 0/0, que es indeterminado. Puedes hacerlo, simplemente no aprendes nada al hacerlo.