Podemos hacer los cálculos para calcular esto, aunque en realidad hay dos efectos en juego que debemos tener en cuenta tanto la relatividad general como la relatividad especial, ya que la luna en órbita significa que también viaja más rápido que la superficie de la Tierra.
Primera relatividad general para el efecto gravitacional:
[matemáticas] \ sqrt {1- \ frac {2GM} {rc ^ {2}}} [/ matemáticas]
Dónde:
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G = Constante gravitacional ([matemática] 6.674 \ veces 10 ^ {- 11} m ^ {3} kg ^ {- 1} s ^ {- 2} [/ matemática])
M = masa del objeto
r = Radio desde el centro del objeto
c = Velocidad de la luz (299,792,458m / s)
Para la tierra:
[matemáticas] \ sqrt {1- \ frac {2 \ times (6.674 \ times 10 ^ {- 11} m ^ {3} kg ^ {- 1} s ^ {- 2}) \ times (5.972 \ times 10 ^ {24} kg)} {6371 km \ veces 299792458 ^ {2} m / s}} = 0.9999999993s / s [/ math]
Para la luna:
[matemáticas] \ sqrt {1- \ frac {2 \ times (6.674 \ times 10 ^ {- 11} m ^ {3} kg ^ {- 1} s ^ {- 2}) \ times (7.348 \ times 10 ^ {22} kg)} {1737 km \ veces 299792458 ^ {2} m / s}} = 0.99999999996s / s [/ math]
Por lo tanto, el reloj en la luna marca un extra de 0.669 ns por segundo que dice que la Luna todavía está dentro del campo gravitacional de la Tierra, lo que en sí mismo da lo siguiente:
[matemáticas] \ sqrt {1- \ frac {2 \ times (6.674 \ times 10 ^ {- 11} m ^ {3} kg ^ {- 1} s ^ {- 2}) \ times (5.972 \ times 10 ^ {24} kg)} {384000 km \ veces 299792458 ^ {2} m / s}} = 0.99999999998s / s [/ math]
Por lo tanto, los efectos gravitacionales combinados significan que el reloj en la luna avanza 0.020 ns más lento debido a la gravedad de la Tierra, lo que hace que la aceleración total para el tiempo lunar sea solo 0.649 ns en comparación con el reloj de la Tierra.
Ahora para relatividad especial para el efecto de velocidad:
[matemáticas] \ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}} [/ matemáticas]
Para la Tierra, esto realmente depende de la latitud en el ecuador, esto es 463.889 m / s para calcularlo para cualquier otro múltiplo de latitud por el coseno de la latitud, por lo tanto, a 45 N / S sería:
[matemática] 463.889m / s \ veces cos (45 ^ {\ circ}) = 328.019m / s [/ matemática]
Así, en el ecuador el efecto sería:
[matemáticas] 1-463.889 ^ {2} m / s / 299792458 ^ {2} m / s = 0.99999999999s / s [/ matemáticas]
Sin embargo, en la luna, que orbita a 1023.056 m / s alrededor de la Tierra:
[matemáticas] 1-1023.056 ^ {2} m / s / 299792458 ^ {2} m / s = 0.99999999998s / s [/ matemáticas]
Aquí la luna realmente gana, su mayor velocidad hace que su reloj funcione más lentamente, de modo que el reloj de la Tierra gana 0.010 ns en relación con el reloj de la luna.
Agregar los dos juntos nos da:
0.649-0.010 = 0.639 ns
Por lo tanto, 1 segundo en la Tierra es en realidad 0.639 ns más corto que un segundo en la Luna, por lo tanto, cada segundo en la Luna ganaría 0.639 ns de edad en comparación con si se hubiera quedado aquí en la Tierra, 55.210 μs cada día o 20.165 ms por año. Usted estaría ganando tiempo un poco más rápido que los 38 μs / día que los satélites GPS deben corregirse para los satélites GPS si no estuvieran corregidos para ellos, aunque aún no es suficiente para considerarlo significativo a menos que esté haciendo algo como tratar de determinar con precisión las distancias cronometrando un señal que viaja a la velocidad de la luz (GPS).
Por supuesto, un observador que no esté en ningún campo gravitacional vería que los relojes se ralentizan un poco más que los valores anteriores, ya que el Sol ralentiza ambos relojes y Sagitario A * ya que nuestro Sol está en órbita alrededor de él, las estrellas cercanas también ralentizarán un poco las cosas. de hecho, siendo técnicamente cada masa en el universo se ralentiza, también ambos relojes se ralentizan por la velocidad de 30 km / s alrededor del Sol y la velocidad del Sol de 220 km / s alrededor de la galaxia también, pero nuevamente estos efectos son los mismos para la Tierra y la Luna aunque hay oscilaciones periódicas en el transcurso del mes lunar a medida que la distancia al Sol y las velocidades relativas de la Tierra y la Luna en relación con el Sol varían.
En realidad, las propiedades orbitales de la Tierra y la Luna son un tema divertido en sí mismas, ya que nuestra Luna no es una Luna típica que se une más fuertemente al Sol que a la Tierra, sino que se encuentran en una extraña órbita acoplada alrededor del Sol que intercambia constantemente impulso para que periódicamente se adelantan creando el camino circular aparente visto desde la Tierra.