No.
Además del hecho de que va totalmente en contra de todas las convenciones aceptadas del Gobierno de Westminster, solo el Parlamento puede promulgar leyes en cada uno de los países mencionados. Los poderes de la Reina en cada jurisdicción son poderes ejecutivos solamente, no legislativos, y por constitución y / o convención, la Reina delega todos estos poderes al Primer Ministro y al Gabinete de sus respectivos gobiernos.
Las medidas que sugiera en su pregunta requerirían la aprobación de legislación a través de todos y cada uno de esos Parlamentos, por lo tanto, no, ella no podría crear dicha unión a través de ninguna orden ejecutiva (incluido el decreto real).
Pero para llevar su hipotético un paso más allá, presumiblemente la Reina podría llamar al Primer Ministro en Gran Bretaña, y contactar a sus respectivos Gobernadores Generales en Canadá, Nueva Zelanda y Australia y hacerles saber que sus deseos eran para que se formara tal unión. Tal mensaje probablemente se transmitiría a los primeros ministros de cada país. Supongo que si ocurriera algo tan extravagante, esas respectivas damas y caballeros considerarían el asunto con la debida consideración, pero ciertamente no lo tomarían como una dirección.
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Pero eso simplemente no sucedería, va en contra de algunas de las convenciones más fundamentales del Sistema de Westminster. La Reina se limita a actividades puramente ceremoniales, y delega todo el poder ejecutivo formal a su Gobernador General (en Canadá, Nueva Zelanda y Australia) y al Primer Ministro y Gabinete en el Reino Unido.
De hecho, el alboroto que se produjo como consecuencia de los “Memos de la Araña Negra” del Príncipe Carlos, donde escribió a los Ministros del Gobierno del Reino Unido en una capacidad privada para compartir sus puntos de vista sobre diversos temas, fue criticado con razón por limitar la aplicación de una excesiva influencia indebida sobre el gobierno. del día. Y todo lo que hizo fue compartir sus puntos de vista personales sobre la agricultura, la arquitectura, la planificación y los alimentos modificados genéticamente.
Del mismo modo, la consternación expresada por el Palacio cuando la prensa del Reino Unido sugirió que la Reina apoyó en privado al Brexit, da una idea de cuán en serio los Windsor toman sus responsabilidades para permanecer políticamente imparciales.
De hecho, su pregunta plantea un punto crítico. Las opiniones privadas de la Reina sobre la posición estratégica de Gran Bretaña son relativamente conocidas. Cuando Edward Heath propuso que el Reino Unido se uniera a la CEE, dejó en claro su opinión de que prefería seguir centrándose en asociarse con los países de la Commonwealth, una extensión del antiguo sistema de preferencia imperial. Tenía grandes reservas sobre el giro hacia Europa, y sin embargo, el Gobierno del Día la ignoró y procedió con su solicitud para unirse a la CEE (que se convirtió en la UE).
TLDR; No por dos razones. Primero, la Reina carece de poder legislativo para hacer los cambios que sugieres, e incluso si pudiera, no lo haría porque la convención requiere que sea completamente imparcial a título oficial.