Sé que [math] {e} [/ math] se define como [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n [/ math] . Pero, ¿cómo podemos obtener [matemáticas] {e} ^ {x} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {n} \ right) ^ n [/ math] a partir de ahí?

Answer 1

[matemáticas] f (x) = \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {x} {n}) ^ n [/ matemáticas]

luego

[matemáticas] f (x) f (y) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {x} {n}) ^ n \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {y} {n}) ^ n [/matemáticas]
[math] = \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {x + y + \ frac {xy} {n}} {n}) ^ n [/ math]
[matemáticas] = f (x + y) [/ matemáticas]

entonces

[matemáticas] f (m) = \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {m} {n}) ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] = f (1) \ cdots f (1) = e ^ m \ \ m \ en N [/ matemáticas]

y

[matemáticas] f (1 / k) = \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {1 / k} {n}) ^ n [/ matemáticas]
[math] = \ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {1} {kn}) ^ n [/ math]
[matemáticas] = \ left (\ lim_ {n \ to \ infty} (1+ \ frac {1} {kn}) ^ {kn} \ right) ^ {1 / k} [/ math]
[matemáticas] = e ^ {1 / k} [/ matemáticas]

entonces puedes obtener todos los números racionales, y luego los números reales.

Answer 2

[matemáticas] e = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n [/ math]
[matemáticas] e ^ {x} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ {nx} [/ math]

Cuando x = 0, [matemáticas] e ^ x = 1 [/ matemáticas]

Cuando x> 0, sea m = nx, entonces [matemática] n = \ frac {m} {x} [/ matemática], [matemática] e ^ {x} = \ lim_ {m \ to \ infty} \ left ( 1+ \ frac {x} {m} \ right) ^ {m} [/ math]

Cuando x <0, sea m = nx, entonces [matemática] n = \ frac {m} {x} [/ matemática], [matemática] e ^ {x} = \ lim_ {m \ to- \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {m} \ right) ^ {m} [/ math]

Aquí trato de demostrar que [math] \ forall x \ in \ mathbb {R} [/ math], [math] \ lim_ {m \ to- \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {m} \ right) ^ {m} = \ lim_ {m \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {m} \ right) ^ {m} [/ math]

Sea n = -m, [matemáticas] \ lim_ {m \ to- \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {m} \ right) ^ {m} [/ math] = [matemáticas] \ lim_ { n \ to \ infty} \ left (1- \ frac {x} {n} \ right) ^ {- n} [/ math] = [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac { nx} {n} \ right) ^ {- n} [/ math] = [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {n} {nx} \ right) ^ {n} [/ math] = [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {nx} \ right) ^ {n} [/ math] = [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {n} \ right) ^ {n} [/ math]

Entonces, [matemáticas] {e} ^ {x} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ frac {x} {n} \ right) ^ n [/ math]

Answer 3