Si lanzo una moneda justa 1 millón de veces, ¿cómo calculo la probabilidad de que haya al menos 1 serie de 10 caras seguidas?

Answer 1

En primer lugar, interpreto su pregunta como “¿cuál es la probabilidad de que, al menos una vez, voltee al menos 10 caras seguidas”. Pensemos en ello paso a paso.

1) Mala idea: generar todas las permutaciones posibles de 1 millón de lanzamientos de monedas, contar cuáles contienen nuestro patrón. Directo pero poco pensamiento involucrado. Y dado que 2 ^ 1000000 es un número demasiado grande para generar todo, este enfoque no funcionará.

2) Considere un truco simple: en lugar de calcular directamente la respuesta, calcule “la probabilidad de que nuestra permutación consista solo en partes de 9 caras consecutivas o menos”. Denotamos

[matemática] a_n [/ matemática] = la cantidad de formas de lanzar n monedas lanzadas de tal manera que en ningún momento hayas lanzado más de 10 caras consecutivas. entonces la respuesta a tu pregunta es

1 – ([matemática] a_ {1000000} [/ matemática] / [matemática] 2 ^ {1000000} [/ matemática]).

3) Información clave: piense en los últimos 10 rollos de [math] a_n [/ math] y busque cualquier patrón. Piensa un poco por tu cuenta.

Ok, esto es lo que pretendía que hicieras

[math] a_n [/ math] debe tener sus últimos 10 rollos de una de las siguientes maneras:
[math] a_n [/ math] termina en
T
TH
THH
THHH
THHHH
THHHHH
.
..
THHHHHHHH
THHHHHHHHH

¿Puedes ver la estructura recursiva de [math] a_n [/ math]?

Si elimina esta última parte de la secuencia, obtendrá la siguiente relación de recurrencia.
[matemáticas] a_ {n + 10} [/ matemáticas] = [matemáticas] a_ {n + 9} [/ matemáticas] + [matemáticas] a_ {n + 8} [/ matemáticas] +… + [matemáticas] a_ {n +1} [/ math] + [math] a_n [/ math], con condiciones iniciales
[matemática] a_k [/ matemática] = [matemática] 2 ^ k [/ matemática], 0 <= k <= 9.

Ahora simplemente, calcule iterativamente [math] a_n [/ math] hasta un millón para responder su pregunta original, utilizando cualquier lenguaje de programación que elija. En python hice el trabajo por usted (vea el código aquí Ideone.com) y, como adivinó, con un millón de lanzamientos, la respuesta se acerca trivialmente al 99.9%. con menos rollos, ver abajo

Con 100 rollos, 4.41%
con 1000 rollos, 38.5%
con 10000 rollos 99.25%.

En una nota al margen, por la linealidad de la expectativa, puede calcular que, en promedio, se espera que vea alrededor de 976 10 cabezas consecutivas en un millón de lanzamientos.

Además, hay todo un campo de las matemáticas llamado recurrencias lineales y funciones generadoras que tienen como objetivo resolver preguntas de este tipo y sus técnicas de aproximación. Por ejemplo, nuestra simple pregunta se puede considerar como una versión más general de la famosa secuencia de Fibonacci (usted realiza un seguimiento de los últimos 10 términos, en lugar de 2 en el caso de la secuencia de Fibonacci). De todos modos, espero que mi respuesta haya ayudado y comente si tiene alguna pregunta 😀

Answer 2

Si lanzo una moneda justa 1 millón de veces, ¿cómo calculo la probabilidad de que haya al menos 1 serie de 10 caras seguidas?

Es fácil calcular un límite inferior.

Si lanzas 10 monedas 100,000 veces, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de esos lanzamientos sea todo cara?

Puede calcular esto con la función de distribución acumulativa geométrica (Google it):

cdf_geo (k, p) = 1 – (1-p) ^ k

cdf_geo (k, (1/2) ^ 10) = 1 – (1- (1/2) ^ 10) ^ k =

… así que solo para 36061 lanzamientos de 10 monedas, está tan cerca del 100% que el cálculo de punto flotante de doble precisión no puede notar la diferencia. Y ese es un límite inferior .

Aquí está la probabilidad de 100,000 lanzamientos de 10 monedas a aproximadamente 44 decimales:

0.99999999999999999999999999999999999999999963

… y la probabilidad de encontrar 10 seguidos en cualquier lugar en un millón de vueltas (no solo en los límites de 10 vueltas) es aún más probable que el número anterior.

Para obtener una descripción detallada de lo que es necesario para obtener una solución exacta a la pregunta original, consulte esta respuesta de Michael Lamer

Aquí hay una tabla de las probabilidades de 20 a 20,000 lanzamientos, usando el método de recursión de Michael:

Como puede ver, no tiene sentido hacer más de 5,000 lanzamientos, ya que la probabilidad es 99.99999999%

Más allá de eso, tendrías que usar aritmética de precisión arbitraria ya que los flotadores de doble precisión solo salen a aproximadamente 16 decimales.