¿Cómo sería un desarrollo de las matemáticas si reemplazáramos el axioma de elección con el axioma de determinación?

Answer 1

El resultado, para fines prácticos, es que estaría agregando el axioma de la mensurabilidad a los reales, para que no tenga que preocuparse por las declaraciones de la forma “elegir un número real gaussiano al azar” o “considerar una caminata aleatoria” y hablando sobre la membresía establecida para estos objetos aleatorios. En la teoría de conjuntos actual, no se puede hablar sobre la pertenencia a conjuntos para objetos aleatorios, solo sobre la pertenencia a conjuntos medibles, que es un subuniverso de conjuntos.

El resultado no es tan bueno, porque solo estás haciendo una teoría de conjuntos ordinaria con un conjunto de potencia con un nuevo axioma infinito, y el sistema es más difícil de analizar porque no puedes etiquetar el ordinal de los números reales dentro de los modelos con un símbolo explícito. Woodin desarrolló la forma correcta de pensar acerca de la determinación, da nuevos teoremas porque es un tipo de reflexión equivalente a agregar un tipo de cardenal grande llamado ahora “cardenal de Woodin”, excepto que agrega una torre infinita de estos.

La estructura de las teorías de conjuntos solo se aclara cuando entiendes que realmente no están hablando de innumerables conjuntos infinitos, realmente están hablando de varios modelos contables de universos que incluyen conjuntos aparentemente infinitos. Los mismos tipos de construcciones se pueden llevar a cabo en un mundo contable, agregando axiomas apropiados para nuevos conjuntos contables grandes, y obtienes el mismo poder de prueba de teorema adicional que agregar axiomas enormes. Pero la ventaja de trabajar dentro de mundos computacionalmente bien definidos es que tienes una comprensión de Hilbert del universo, porque nunca se expande para estar fuera del alcance de la intuición, siempre es contable.

Así que no creo que tomar este tipo de axiomas infinitos sea una buena idea. Siempre necesita justificar los axiomas usando principios de reflexión que equivalen a una prueba de consistencia usando ordinales computables contables grandes, cuando lo hace bien, cuando lo hace en el sentido del análisis ordinal.

Answer 2

Exactamente lo mismo.

Para demostrar que el axioma de elección es independiente de los otros axiomas en una teoría (aquí la teoría de conjuntos de Zremelo-Fraenkel), construye un modelo de la misma teoría en la que el axioma de elección es falso. Intuitivamente, comienzas a partir de una teoría de conjuntos ZF que satisface el axioma de elección del cual eliminas solo los conjuntos suficientes para negar el axioma de elección pero para preservar todos los demás axiomas. También hace lo contrario, comienza con una teoría ZF sin el axioma de elección y agrega elementos hasta que sea cierto.

Entonces, el desarrollo actual de las matemáticas admite que tiene un sistema matemático perfectamente válido en el que el axioma de elección es falso, y por la misma razón, el sistema matemático en el que el axioma de indeterminación es verdadero.

Estas teorías matemáticas están menos estudiadas (porque necesita uno o dos siglos para que el matemático explore un universo matemático), pero se puede encontrar algún ejemplo en n-cat.

También hay una base de datos de Consecuencias del Axioma de Elección.