No, pero hablar sobre por qué se vuelve realmente técnico muy rápido.
Hay, quizás algo extraño, una diferencia entre tener una probabilidad de 0 y ser imposible.
Supongamos que tengo un pequeño dispositivo genial que cuando presiono un botón elegiría un número real entre 0 y 1 con probabilidad uniforme. Entonces, como has notado que la probabilidad de que produzca cualquier número dado es 0, claramente no es imposible.
El problema aquí es qué significa realmente asignar una probabilidad a algo. A menudo se nos dice que si algo tiene algo tiene una probabilidad p y lo intentamos una carga completa (digamos n) veces, entonces esperamos que suceda aproximadamente [math] n * p [/ math] veces.
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Todo lo que hemos hecho allí es cambiar la pregunta a cuál es la expectativa de una probabilidad. Podemos dar vueltas en este tipo de bucles todo el día, pero la verdad es que nunca podemos basar completamente nuestra definición en la realidad.
Ok, entonces, ¿qué significa realmente una probabilidad? Honestamente, no tanto, ya que con todo en matemáticas realmente estamos reduciendo todo a un sistema abstracto rígido. A veces, estos sistemas son relevantes para el mundo real, y en este caso lo son, pero no está bien fundado como podría pensar.
Al igual que no tiene ningún sentido decir que lanzo una moneda, ¿cuál es la posibilidad de una manzana? Tenemos que tener cuidado para asegurarnos de hacer preguntas significativas. Resulta que esto es imposible, puede hacerse algo sensato, pero definitivamente no es lo mismo que tener probabilidad 0.
Realmente no veo cómo explicar esto más sin explicar cómo definimos adecuadamente una probabilidad. Te perdonaré por completo si no lees más.
En algunos sentidos, comenzamos con las propiedades que nos gustaría que tuviera nuestra definición y trabajamos desde allí.
Hagamos esto un poco más formal. Supongamos que tenemos algún resultado posible, o tal vez una colección de posibles resultados, digamos A (lo que llamamos un evento), queremos alguna función que asigne una probabilidad a este resultado.
Si escribe [math] \ omega [/ math] como el conjunto de todos los resultados posibles y [math] S [/ math] como el conjunto de todos los subconjuntos de [math] \ omega [/ math] a los que estamos asignando probabilidades , entonces queremos una función [matemática] P: S \ a [0,1] [/ matemática].
También queremos que esta función y el conjunto S tengan algunas propiedades básicas.
- [matemática] \ omega \ en S [/ matemática] y [matemática] P (\ omega) = 1 [/ matemática]
- [math] \ emptyset \ en S [/ math] y P ([math] \ emptyset) = 0 [/ math]
- Si [matemática] A \ en S [/ matemática] el complemento [matemática] A ^ {c} \ en S [/ matemática]
- Si [math] E \ subseteq S [/ math] es un conjunto contable, entonces [math] \ bigcup_ {A \ in E} A \ in S [/ math] y [math] \ bigcap_ {A \ in E} A \ en S [/ matemáticas]
- Si [math] E \ subseteq S [/ math] es un conjunto contable de eventos disjuntos, entonces [math] P (\ bigcup_ {A \ in E} A) = \ Sigma_ {A \ in E} P (A) [/ matemáticas]
La primera propiedad dice que la probabilidad de que ocurra cada resultado posible es 1. La segunda es un poco menos clara, creo, no está diciendo que la probabilidad de que no ocurra nada es 0, ya que nada de lo sucedido podría ser un evento válido. Tal vez sea similar a decir algo así como la probabilidad de que no se logre ningún resultado posible es 0. Nos dice en particular si [math] A \ cap B = \ emptyset [/ math] no pueden ocurrir ambos a la vez (es decir, son distintos resultados, como voltear una cabeza o una cola, no puedes hacer ambas cosas a la vez).
Aquí, de hecho, es significativo hablar de lo imposible. El único evento imposible es el conjunto vacío, porque es el único subconjunto de [math] \ omega [/ math] que no contiene nada que pueda suceder.
La tercera propiedad dice que si podemos asignar una probabilidad a un evento, también podemos asignarle una probabilidad al evento de que no suceda.
Los siguientes dos nos dicen que podemos asignar probabilidades a las uniones e intersecciones de eventos. Una unión es como una o, dice que ocurre al menos una de estas cosas. Una intersección es como una y, dice que todas estas cosas ocurren.
Esto nos lleva a la última propiedad que básicamente dice que las probabilidades de que ocurra uno de un conjunto de eventos distintos es la suma de sus probabilidades. También combinado con la tercera propiedad nos dice si A es un evento, entonces la probabilidad de que A no ocurra es [matemática] P (A ^ {c}) = 1-P (A) [/ matemática]
Resulta que esta definición es esencialmente lo mejor que podemos hacer. Realmente solo podemos hacer nuestro mejor esfuerzo para elegir nuestras funciones y eventos para reflejar el mundo real. Como con todo en matemáticas, esencialmente estamos describiendo un sistema abstracto y luego notando que algunos se parecen al mundo real.
Si consideramos el ejemplo que di al comienzo de un dispositivo que escupe números, obviamente tenemos [math] \ omega = [0,1] [/ math]. Resulta que la forma más natural de pensar en una probabilidad uniforme en este conjunto es tomar S como los conjuntos que pueden formarse mediante intersecciones contables y uniones de intervalos. Y luego haga que nuestra función P sea la función integral de modo que [matemática] P (A) = \ integral_ {x \ en A} dx [/ matemática] que probablemente reconocerá como una distribución de probabilidad continua.
La probabilidad que elige, digamos la mitad, es claramente 0. Esto coincide con nuestra intuición de que es 1 dividido por infinito. Pero todavía es un evento, y por lo tanto podría suceder. En cierto sentido, es realmente muy poco probable.