A diferencia de la mayoría de mis respuestas, absolutamente nada.
Las órbitas de la Tierra y Marte podrían estar ligeramente perturbadas … la persona promedio en la Tierra no podría detectar ningún cambio. Los astrónomos lo serían, y la duración de nuestro día y año cambiaría, aunque en cantidades muy pequeñas (particularmente el día). La cantidad dependerá de la velocidad y la dirección del sobrevuelo.
En los próximos años después del sobrevuelo, es posible que deba agregarse o restarse un segundo de nuestro calendario para mantener todo alineado.
La órbita de Marte también se perturbaría un poco, y sus lunas tal vez un poco más. Pero de nuevo, no hay problemas importantes.
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La razón por la que esto no hace mucho es que Marte y la Tierra, en su punto más cercano, están REALMENTE muy lejos el uno del otro (54,6 millones de kilómetros). Esto es más de 100 veces la distancia entre la Tierra y la Luna. A esta distancia, el efecto gravitacional de un planeta del tamaño de la Tierra es realmente bajo.
Hay una manera en la que puede confiar en esta respuesta: algo muy similar ya ocurre una vez cada 8 meses más o menos. Venus es casi tan masivo como la Tierra, y pasa a unos 39 millones de kilómetros de la Tierra. Si bien esto no es la mitad de la distancia mínima entre la Tierra y Marte, está bastante cerca. ¿El efecto que Venus tiene en la Tierra? Esencialmente cero.