No entiendo qué es un locus en matemáticas. ¿Podría explicar y dar un ejemplo sobre cómo usarlo?

Hay varias figuras geométricas como círculos, líneas, elipses, etc. que vemos en nuestra vida diaria a nuestro alrededor, pero todas siguen algunas definiciones específicas cuando se proyectan en un plano cartesiano. Por ejemplo, una línea puede ser solo una LÍNEA, un círculo solo un CÍRCULO y una elipse un círculo que es alargado para usted, pero la geometría sigue algunas definiciones para ellos.

En geometría, una línea : • es recta (sin curvas), • no tiene grosor, y. • se extiende en ambas direcciones sin fin (infinitamente). Si tiene extremos, se llama ” Segmento de línea “.

Un círculo es el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia dada de un punto dado, el centro; equivalentemente es la curva trazada por un punto que se mueve de modo que su distancia desde un punto dado sea constante.

Una elipse es una curva en un plano que rodea dos puntos focales, de modo que la suma de las distancias a los dos puntos focales es constante para cada punto de la curva.

Cuando hablas de un lugar, en realidad hablas del conjunto de puntos que se encuentran en la figura específica. En otras palabras, cuando trazas todos los puntos del locus obtendrás la figura específica. P.ej. Si tomamos un locus de una línea recta en la forma y = mx + c como y = 5x + 1. Nw tome cualquier valor aleatorio de x , digamos 2. Si 2 es la abscisa de cualquier punto en la línea y = 5x + 1, entonces su ordenada se calculará usando la ecuación dada de la línea recta.

y = 5x + 1 => y = 5 (2) + 1 = 11

Nuestros resultados significan que el punto (2,11) se encuentra en la línea recta cuya ecuación es y = 5x + 1. Si toma algunos valores más de x y calcula y o viceversa y traza estos puntos en un plano cartesiano y los une, obtendrá una línea cuya ecuación es la que se nos dio, es decir, y = 5x + 1.

Ahora hablemos de un círculo. Es el conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia dada de un punto dado, el centro. Si hablamos del lugar geométrico de los puntos que están a una distancia de 5 unidades del origen, tendremos un círculo de radio de 5 unidades. La ecuación de dicho círculo será ( x ^ 2) + (y ^ 2) = 5 ^ 2 = 25 . Si toma el valor de abscisa como 0, entonces el valor de ordenada se calculará utilizando la ecuación dada. (x ^ 2) + (y ^ 2) = 25 => (0 ^ 2) + (y ^ 2) = 25 => (y ^ 2) = 25 => | y | = 5 . Significa que los puntos (0,5) y (0, -5) se encuentran en el círculo dado, ya que siguen la condición de estar a 5 unidades del origen.

Si continúa tomando algunos valores aleatorios de xy calculando y o viceversa, obtendrá algunos puntos que, cuando se trazan gráficamente, formarán un círculo de radio de 5 unidades, pero dado que un círculo es una figura cerrada a diferencia de una línea que se extiende infinitamente, no todos los valores te darán puntos que podrían trazarse. Por ejemplo, si toma el valor de abscisa como 10, obtiene el valor de ordenada como (-75) ^ (1/2), que no es un número real y, por lo tanto, no se puede representar gráficamente.

Según yo, deberías intentar resolver algunas preguntas sobre el lugar trazando todo gráficamente en un papel cuadriculado. Le ayudará a comprender el concepto fácilmente.

Locus = {conjunto de puntos}

Recuerde que es un conjunto (como en la teoría de conjuntos)

U puede ver que es un conjunto infinito. Hay infinitos no. de puntos en este este conjunto.

Así que no puedo enumerarlos uno por uno.

Tengo que definir matemáticamente usando ‘funciones’ o puede estar usando lógicamente una regla escrita en idioma inglés simple.

Entonces, mientras escribimos en inglés, nos referiremos a dar una idea general sobre la ubicación del conjunto de puntos de los que hablamos.

Por ejemplo un círculo. ¿Cómo lo describirías matemáticamente?

Podemos decir que círculo es un conjunto infinito de puntos que satisfacen una condición única: son una distancia fija desde un punto dado.

La siguiente pregunta es ¿Cuál es la ubicación de todos los puntos a una distancia fija de un punto? Esa es la ecuación de un círculo.

Todos los puntos infinitos del círculo satisfacen nuestra condición al estar a una distancia fija de un punto dado. O, más bien, diga todos los puntos infinitos que satisfacen la condición, cuando se trazan forman un círculo. (Esfera si usa el sistema 3D)

Para describir matemáticamente:

Condiciones dadas: punto fijo (a, b) y distancia fija = d

todos los puntos en nuestro conjunto de puntos satisfacen la condición dada; así que elegimos cualquier punto (x, y) también debe satisfacer la condición:

Distancia b / w punto fijo (a, b) y cualquier punto en el conjunto (x, y) = d.

Esto nos da la ecuación de locus bajo una condición dada. La ubicación de todos los puntos en el conjunto se puede obtener simplemente resolviendo la ecuación o trazando su gráfico.

Otro ejemplo es

Condición dada:

  1. Punto fijo (p, q)
  2. Línea fija (ax + by + c = 0)

¿Cuál es la ubicación de todos los puntos, tal distancia desde el punto fijo dado y la línea fija es igual?

Si intentas responder esa pregunta, en realidad describirías una parábola

Preguntemos de manera más general: ¿Cuál es la ubicación de todos los puntos de modo que la relación entre su distancia desde el punto fijo dado y la línea fija sea una constante (digamos e)

Esa es la descripción general de una sección cónica con excentricidad = e

También podemos describir diferentes formas usando el concepto de locus.

Una ubicación es el lugar donde una cosa está en un momento dado; un solo punto específico, como el que podría hacerse al pegar un extremo de un par de brújulas en una hoja de papel. ¿Tiene sentido?

Si realmente no puede usar un diccionario o Google, un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos posibles que podrían cumplir ciertas condiciones.

Un círculo es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que están a una distancia fija de un punto fijo; todos los lugares que el otro extremo de las brújulas podía ocupar mientras se movía alrededor del agujero en el papel y la distancia entre los extremos de las brújulas no cambiaba.

Una línea recta es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano equidistante de dos puntos fijos.